为什么要用乘法计算面积？ 第1页

感觉 @serter666 对测度的内容写的很完善了，我在这里稍微补充一下（也就是涉及到区间 的长度的部分）。

我们考虑计算出一个矩形（尚未定义）的面积，首先需要先得到实数轴 上的闭区间 的长度。在此之后，可以借助区间的Descartes积，定义 中的闭矩形。

要得到区间的长度，最“自然”的想法，就是数一下这个区间 中到底有多少个“点”。

沿用Terence Tao在《An introduction to measure theory》中的记号，对于实数 和 的子集 ，记 ，同时用 来表示集合 中的元素个数。

第一步，我们可以数出区间 中的整点所构成的集合 中的元素个数，并且根据上面的记号，个数可以表示为 。

更进一步，我们可以得到以 为分母的有理点的个数 。

直观上，我们可以得到，随着 的增大， 的数量也会越来越大。如果考虑以 为单位长度的话，这个数值会越来越接近区间 的“长度”的 倍。

从而，我们定义区间 的长度

作为例子，我们考虑计算闭区间 的长度。

集合 的元素个数为 ，其中 为Gauss取整函数，结合不等式 ，立即得到

根据夹逼准则知

接下来，我们给出 中的闭矩形的定义。设 是 上的闭区间，则定义

为 中的闭矩形。

特别地，对 ，记 ，则有

同时，考虑 中的矩形

其也符合我们对二维的矩形的认识。

将上面的区间长度 的计算公式作推广，可以用类似的方法，得到 中的闭矩形的“面积”（或称为测度）的计算公式为

在这样的定义下，可以发现

从而我们发现，一个闭矩形的面积就等于构成这个闭矩形的区间的长度的乘积。

作为一个推论，对于实数 及 ，我们也得到了二维平面内的闭矩形 的面积为 。

乘法难道不是加法的简写吗。

1 * 100 就是 1 + 1 + 1 + ... + 1 一共加 100 次的简写。

如果有个房间要铺地板，

把所有格子的数目加起来就是地板的面积。

人发明了乘法（简写）， 也许就是为了偷懒。

不愿意加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加。

定积分不也是加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加吗？

大家都知道，俺没啥文化， 初中毕业。

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俺知乎阅读总量只有 0.7亿 没跨出一小步 (n<1亿)。盐值低迷（半年了还900）希望长点盐值。俺的回答您当笑话看看就算了， 别太当真， 不然会被贴吧网友耻笑。

“老麦， 大家都说你是笑话、论坛孤儿和神棍。”

“没错。 只有十万分之0.5的读者赞同俺的观点。”