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任意给一闭合光滑平面曲线,该曲线每个点都受一个法向的相等的力。那么该曲线所受的合外力是否为零? 第1页

  

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首先对于原问题,这个问题是说对于每个点受到一个若干大小的力。这样绕着曲线一圈求和,相当于对不可数个向量求和,如果考察分量的话,相当于要对不可数个实数相加,而这并没有良好的定义。因此对于这个问题无法回答,除非给出不可数个实数相加的定义。

但是可以对于这个问题略加修改。在物理中有“压强”的概念。我们可以假定,对于单位长度的曲线段,总受单位法向量的力。比如,考察一条线段,单位长度总受法向量 的力,那么长度为 的线段,所受合力就是积分 。对于曲线,在局部而言(即曲线段很小的时候)可以近似看成是直的,这一小段受的合力就是相对于这一小段长度的那么长的法向量。把各个小曲线段的合力加起来就是整个曲线受的总的合力。因此也可以用如上的积分去计算。

在这个意义下,题主的命题是对的(当然,题主还有一点没有说明。必须还要假定这些法向的力都指向曲线的同侧)。下面是证明。

设闭曲线 : 。让曲线按长度参数化,即 。设在 处的单位法向量是 (都指向内侧或外侧),则由切向量是 可得单位法向量是 。因此 是光滑函数,即确实指向的是曲线的同侧(否则不会光滑),并且有




  

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