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一个数减去各位数字之和需要多少次减为 0？第1页

qzane 网友的相关建议:

一脸懵逼，随手又画了个k=63的图发现比值下降了，虽然不知道极限存不存在，但这说明在63进制下n / log n 可能不再是上界了，这个问题提的好啊...

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不严谨的回答一下，令func(n, k)代表n这个数字在k进制下减到0需要的次数，讨论关于n的增长率的时候k为常数。

因为一共只有log(n,k)位，而每一位最大的值为k，所以每一次减去的数不超过log(n,k)*k，所以我们有了这个函数增长率的下界：func(n,k) = Ω(n / log n)

关于上界的话，暂时没想到好的证明方法，但是我把n/log2 n与func(n,2)的比值画出来了，可以看出来比值是越来越大的，说明n / log n应该也是这个函数增长率的上界，我猜这个结论在其它进制下也是成立的。

补个n / log3 n 与 func(n, 3)之比的图，看起来结论在三进制下依然成立:

ling-jian-94 网友的相关建议:

估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段，将当前包含天使的多边形，按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好，每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。

直观看出，取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积，等分效率最高。令此线段长度，三角形边长，则：

这样，初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形，易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形，于是根据假设，天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环，至于无穷，天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程：

记魔鬼速度，则捉住天使的时间：

这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。

按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形，上界可以改进为：

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