我想了解一下：最小公倍数＝两数乘积 / 最大公因数，出自于哪里？ 第1页

温馨提示，食用本文，需要了解以下知识： 群（group），子群(subgroup)，正规子群(normal subgroup)，商群(quotient group)，同构(Isomorphism)，同构基本定理

这其实是个数论比较简单的结论啦！其他答主也已经很详细地写了怎么从数论的两个角度来思考这道题了。不过大佬们还没有提到用群论，我就来捡个漏吧~

众所周知（大雾），数论与群论密不可分。很多数论结论都可以简洁快速（再次大雾）地用群论结论证得。证明中的那些构造是真的都挺妙的！！！

当然，我不保证下面证明的完全严谨性，因为群论是我去年初中学的，已经一年没碰了，知识都还给老师了......

为了照顾不怎么了解群论的同学，我还是胡乱说下我个人对这个证明的理解吧，我也不太懂，就纯瞎说，完全可能错

1. 加法和乘法的性质，导致了整数结构间的一些优良的特性，也就是所谓同构（Isomorphism)。而这个加法与乘法导致的同构性质就会引出这个式子的大概框架。
2. 最小公倍数与最大公因数本质上都有一个满足某些条件的“最小正整数”的性质。最小公倍数就是两个数最小的公倍数。而最大公因数，其实就是两个数，m和n的最小的正的线性组合（满足mx+ny形式的数被叫做m,n的线性组合(linear combination) x,y是任意整数）这个最小性质能帮助我们填补上面框架中的一些具体细节，进而可以计算出结果。

当然，这只是非常模糊的概念，具体是怎么回事，还是要亲自去了解整个证明过程才算好啊。

解决这个问题前，首先，我们要知道一个定理，叫

如果你知道同构第一定理的话，这个定理也挺好证的。（当然，一般你知道了第一，没有理由不知道第二...）

其实你要是眼尖一点，你就会发现， 的形式很接近题主问的 了，所以很自然会想用这个定理来证明这个数论定理。

下面，证明开始！

我们令 , ,

(注：由于 是一个加法群，所以上面的同构第二定理（默认乘法形式）在使用时得改成加法形式，即 ）

很明显的， 。再由于加法的交换性，H必然是G的正规子群。

所以，很轻松的，使用第二定理，可知 。

进一步的，

到这里，证明可以说完成了一部分了

所以，现在问题就是，这两个商群的基数（cardinality）是多少呢？

我们现在呢，不能先急于直接求商群的基数，因为这四个群应该都是无限群。我们应该思考如何表达 和 这两个群。大概猜的出，应该仍是 的模样，很有可能就是 和 。

（ 是最小公倍数(least common multiple)， 是最大公因数(greatest common divisor)。

为了方便，下面的 ）

那我们就先来表达 和 吧！

其实也就是 , 也就是说，里面都是m,n的公倍数（所有元素 x 都满足 ）。

所以, 我们要想不重不漏地表达 ，也就是要找到最小公倍数，即 。（可用良序公理和反证法证明）（个人建议先用几个例子感受一下，这样就会感觉很清晰了）

所以， , 即

需要一点数论知识才行哦！

很明显，任何 里面的元素 都是可以表示为 的形式。

和上面一样，我们需要知道什么元素是这个集合里面的最小正整数。

对初等数论很敏感的同学，应该知道这个定理，

一样可以用良序公理和反证法证明。

所以，与上面一样，

于是，我们先前那个等式 也就变成了

原本抽象的商群具象化很多啦！

౧(*മ് ധമ്)੭ु⁾⁾

我们只差一步之遥！！！

最后，我们只要再引入一个很简单的引理，就能直接送这个定理上西天啦！

这个引理就是

如果 ，那么 的元素数量（也就是基数）为

尝试几个例子，就会非常直观地看到一些pattern, 证明也就挺简单的了

令 。

那么

所以， 。

当当当！命运的钟声已经敲响！

因为 ,

因为 ,

所以，

即

命题得证。

其实很多数论的知识都可以用群论论证，还是很有意思的。群论也是我非常喜欢的一门课，这种研究关系的思想我也非常喜欢(￣︶￣*))

不过只学了半年就没有了(ノへ￣、)

顺便捞一下自己以前关于这个等式的回答，算是一个在其他学科中的运用吧

最后，发现什么疏漏都可以指出来啊，感谢您阅读到这！❤