提供一个基于留数的方法。
首先我们把原问题中的级数扩展一下,考虑如下的级数
简单地观察可以发现,对于整数 ,有 ,因此这个新的级数等于原题中级数的两倍。
现在我们定义一个新的函数
容易看出每个整数点均为 的一个极点,且它在每个整数点上的留数分别等于我们定义的级数的每一项,也就是说
此外还注意到, 也是一个极点,因此我们在复平面中画出所有极点的分布
图中星号代表函数 的极点,级数中的每一项分别对应了蓝色极点处的留数,每一个小圆路径均沿逆时针,将这些路径进行合并,并利用函数 在无穷远处去的衰减性质,我们得到下面一个新的路径
注意红色极点的留数并不包含在级数中,因此路径在 处绕了个弯。这样沿着新的积分路径,我们立刻可以看出 在其上的积分等于
根据 在 的Taylor展开容易求出 在这一点的留数为 ,
因此级数 ,
所以原题中的级数等于 。
利用这样的留数法可以十分方便地解析计算一大批级数问题,更多细节可以参看Walter Appel的《Mathematics for physics and physicists》中4.6.e小节。
将 ,展开为 级数,得到
将 代入,得到
移项就得到了
当然,如果你会 函数,还可以有
实际上这应该是Dirichlet—beta函数.还有别的做法,比如转换为积分
或是留数定理(我⑧会)
还有更一般性的结论,链接丢在这里了
首先介绍狄利克雷beta函数(Dirichlet beta function):
而题目正是求 的值。
其实这个函数在 处的函数值都有 ,本文的目标就是把他们统统都求出来!
显然 , (卡塔拉常数)
下面进入复变的世界,坐稳喽————
令 ,其中 为正整数。构造一个 正方形围道:
这函数在全平面的奇点是 以及 ,注意这个 是 级极点。
计算留数:
注意到欧拉数定义: [1]
所以:
根据它,我们可以求出:
所以
由留数定理:
而 [3]
现在,令 ,则 式变为:
解得:
然后可以开启开挂模式了:
……
附:前几个欧拉数( 都为零)