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如下图,这个级数如何求出来呢? 第1页

  

user avatar   herik-49 网友的相关建议: 
      

提供一个基于留数的方法。

首先我们把原问题中的级数扩展一下,考虑如下的级数

简单地观察可以发现,对于整数 ,有 ,因此这个新的级数等于原题中级数的两倍。

现在我们定义一个新的函数

容易看出每个整数点均为 的一个极点,且它在每个整数点上的留数分别等于我们定义的级数的每一项,也就是说

此外还注意到, 也是一个极点,因此我们在复平面中画出所有极点的分布

图中星号代表函数 的极点,级数中的每一项分别对应了蓝色极点处的留数,每一个小圆路径均沿逆时针,将这些路径进行合并,并利用函数 在无穷远处去的衰减性质,我们得到下面一个新的路径

注意红色极点的留数并不包含在级数中,因此路径在 处绕了个弯。这样沿着新的积分路径,我们立刻可以看出 在其上的积分等于

根据 在 的Taylor展开容易求出 在这一点的留数为 ,

因此级数 ,

所以原题中的级数等于 。

利用这样的留数法可以十分方便地解析计算一大批级数问题,更多细节可以参看Walter Appel的《Mathematics for physics and physicists》中4.6.e小节。


user avatar   zhong-shan-15-34 网友的相关建议: 
      

将 ,展开为 级数,得到

将 代入,得到

移项就得到了


当然,如果你会 函数,还可以有


实际上这应该是Dirichlet—beta函数.还有别的做法,比如转换为积分

或是留数定理(我⑧会)

还有更一般性的结论,链接丢在这里了


user avatar   myaries10000 网友的相关建议: 
      

首先介绍狄利克雷beta函数(Dirichlet beta function):

而题目正是求 的值。

其实这个函数在 处的函数值都有 ,本文的目标就是把他们统统都求出来!

显然 , (卡塔拉常数)

下面进入复变的世界,坐稳喽————

令 ,其中 为正整数。构造一个 正方形围道:

这函数在全平面的奇点是 以及 ,注意这个 是 级极点。

计算留数:

注意到欧拉数定义: [1]

所以:

[2]

根据它,我们可以求出:

所以

由留数定理:

[3]

现在,令 ,则 式变为:

解得:

然后可以开启开挂模式了:

……

附:前几个欧拉数( 都为零)


参考

  1. ^欧拉数(维基百科) https://en.m.wikipedia.org/wiki/Euler_numbers
  2. ^请问这四个展开式是怎么来的? - Aries的回答 - 知乎  https://www.zhihu.com/question/398250488/answer/1263706418
  3. ^初三党搞积日常(2)——从复变角度解决巴塞尔问题(The Basel Problem) - Aries的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/143842181



  

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