如何证明 不存在两个有理数a、b，使得 a＋√b=³√2？ 第1页
1
ling-jian-94 网友的相关建议:
本质上是个数域相关的问题，但是 这种形式有个很标准的做法，就是凑个共轭根式 ，然后形成一个二次方程
则若存在这样的a和b，则
是这个二次方程的根。熟悉数域理论的自然会发现已经矛盾了，不过我们不用数域理论，而是直接推导一个矛盾出来：
我们知道 也是 的根，那么我们将前面的二次方程两边乘以x得到：
代入 整理
再把第一式乘以2a：
两式相减：
如果 不为0，则x一定是个有理数，而我们显然知道 不是个有理数
（如果一定要证明，可以设 为既约分数，则 ，得到p和q都是2的倍数，矛盾）
因此必须有
代入得到
显然不存在这样的有理数（证明同前面的 ），矛盾
实际上上面的过程就是做了一个多项式的带余除法，即
可以看出，一个三次方程和一个二次方程的公共根的问题，和多项式的分解密切相关，它们有公共根的情况只有两种：要么有一个公共的一次有理多项式因子，要么三次方程能除尽这个二次方程。而 这样的多项式在有理数域里是不可约的，因此也就不可能和一个有理系数二次方程有公共的根。这样的思路最终就可以导出数域的概念。
plel 网友的相关建议:
这是我看到的最准确的总结。
总的来说，就是中国的高考相对公平，所以性价比极高，所以其他活动都可以适当让步。
1
相关话题
利用无理数压缩数据是否可行？n整除Phi(p^n-1)，怎么证明？
两条直线真的画不出一个圆吗？
斐波那契数列倒数和收敛吗，是多少？
逃离丧尸包围的游戏，你能否逃生？
为什么几何意义十分明显的数学定理要复杂地去证明？
这个运动轨迹方程是什么？
为什么要公理化实数，而不是从自然数导出？
在初等数学范围内，是否所有拥有递推公式的数列都可求对应的通项公式？
欧美和前苏联在数学教学的风格、体系上有何不同？后者给我们学习数学设立了高门槛吗？
前一个讨论
质量是怎么转变成能量的？
下一个讨论
条件概率属不属于随机变量？为什么？
相关的话题
「奇点」的「奇」怎么读？如果Goldbach猜想是真的, 有啥用?
如果在一个密闭空间里给一个普通人1亿年的时间，他可以推演出现在的数学定理吗？
考虑一个半径为 1 的圆，若「随机」选择圆上的弦，求弦长的概率分布？
有且仅有函数e^x的导数与本身相等吗？如何证明？
有哪些玩游戏时能使用的高等数学知识？
如何评价数海钓鱼将钓鱼题广泛传播的行为?
以「维数」为自变量的函数怎样表示和画图象？
你见过最恶心的函数是什么？
根号素数的有限组合是否一定是无理数?
为什么手机计算器上50%+50%=0.75?
蜗牛从10米深的井底爬，白天爬一米，晚上下落x米，其中x为[0,2]米的随机数，那么爬上的期望是多少？
为什么“2015年人类可能迁到月球居住”是一个不可能事件？
数学课有江湖吗？
调和级数前n项和的母函数是什么？
什么样的初等函数的不定积分不能用初等函数表示？
100名囚犯猜红绿灯，最多能保证多少人猜对？
小学生有必要上数奥班吗？
为什么正态分布公式中会有 π 呢？ π 为什么应用得地方那么多，应该怎么理解 π ？
轴对称图形只能看出来么，不能证明么？
设有界函数在某一闭区间上的不连续点为{Xn}，且极限寻在，证明该函数在这个闭区间可积？
请问能把一个正方形划分成有限个四边形， 每个四边形都是凹四边形吗？
哪些数学书让你相见恨晚？
i²＝-1几何意义是什么？
如果一个圆的半径无限大，那它还是一个圆吗？
任何自然数都能用包含「1、1、4、5、1、4」这 6 个数字的式子表示吗？
一道极值点偏移如何证明?
如果有一个人见到一个整数就能立刻分解质因数，那么这个人怎样才能发挥他的最大价值?
在没有能量损失的理想台球桌上任意击球，球是否最终必然进洞？
是否可以用纯数学手段配平化学反应式？