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如何证明五点共圆问题? 第1页

  

user avatar   si-dian-gong-yuan 网友的相关建议: 
      

怎么没人邀请我?我可是五点共圆四号机。

我个人非常喜欢这个几何问题,就来这里讨论一下。

实际上国家领导人发现数学定理是很普遍的现象。

例如拿破仑就发现了拿破仑定理,虽然没有什么大用,但是很美。

三角形各边为边分别向外侧作等边三角形,则他们的中心构成一个等边三角形。

出门在外,不能用wiki,见谅

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五点共圆也是这样的一个很美的定理。

首先看题,

在任意五角星AJEIDHCGBF中,△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别是K、O、N、M、L。
求证:K、O、N、M、L五点共圆。

这是个很好玩的问题,原因就在于有如此多的点共圆以及园共点。

而这类问题,我一般都直接用密克定理及其逆定理。

密克定理:

定理陈述
三圆定理:设三个圆C1, C2, C3交于一点O,而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点。设A为C1的点,直线MA交C2于B,直线PA交C3于C。那么B, N, C这三点共线。

逆定理:如果是三角形,M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上,那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圆交于一点O。

证明密克定理:

密克定理∠ONC=∠ONB

∠ONC=∠OPA=∠OMA=∠ONB

证明逆定理

∠A=180°-∠MOP

∠C=180°-∠NOP

故∠MON=∠A+∠C=180°-∠B

MONB四点共圆,证毕

再看五点共圆

我们看△AIC,其边上有HGD三点。

所以△IHD,△GCH和△ADG的外接圆共点

这个点就是点N,故ADGN共圆

而与△ADG有关的是△BJD(故ADGI四点共圆)。

于是,ANLD四点共圆

我们要证五点共圆,就任意证四点共圆即可

我们已知ANLD四点共圆,

所以,通过对称性,我们可以断定应该证KOLN共圆

那么,我们就证明∠KON+∠KLN=180°即可

注意到∠KLN=∠ALN-∠ALK,∠KON=∠KOI+∠ION

故命题∠KOI+∠ION+∠ALN-∠ALK=180°

∠ALK=∠AJK=180°-∠KJI=∠KOI

∠ALN=180°-∠ADN=180°-∠ION

命题得证。

这个命题看起来比较难,其实就是由于很多的圆迷惑了你的视线,这时就需要一句话也不说,闷头计算。

很惭愧




  

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