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平均多少个 [a, b] 间的随机数之和才大于 c? 第1页

  

user avatar   emoji-29-79 网友的相关建议: 
      

后来我意识到下面独立和的密度函数 表达式有更简单的推导方法。令 。则 是 的 重卷积。把括号打开,一共有 个卷积项。但是卷积是交换的,所以,最后只有 项,正好对应 的表达式。


下面是之前的回答。

本文在酱紫君的基础上做一点完善。目前只考虑 的情况。令 是第一次部分和超过 的时间。则,

。这和之前匿名用户的答案是一致的。之前还有提到用更新理论算Laplace逆变换的,应该也是可以的。形式上,有个不严谨方法是先把函数 写成 然后逐项求Laplace逆变换,和下面求Fourier逆变换的凑法是一样的。

对于 ,情况复杂,简单的来看如果 , ,那么,


先考虑 时, 个独立的 上的均匀分布的随机变量 的独立和 的密度函数 。每个 上的均匀分布的特征函数为 。所以, 个均匀分布的独立和的密度函数为 。接下来,我们通过Fourier逆变换求 。注意到 是 的特征函数,其中 是 这一点的Dirac点测度。所以, 是 的 次卷积的特征函数。而 的 次卷积是 。接下来考虑 的Fourier逆变换。注意到 。如果我们把 想象成 ,那么我们发现 的Fourier变换就是 。然而,这应该在缓增广义函数 的意义下是成立的。然后,求 的 次卷积,得到 。最后,我们把 和 卷积在一起,就得到了 。

接下来,我们考虑一般的 ,令 ,则 是独立同分布的 上的均匀分布,他们的独立和 。所以, 的密度函数 满足 。所以, 。 的表达式有更简单更直接的推法, 的表达式有更简单更直接的推法


对于 ,

第一个等号的地方我们用到了 。那么, 。如果 ,这只是一个有限求和,所以可以任意换序,将其写成 。如果 , 。上述求和绝对收敛,所以,我们先对 求和,得 。




  

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