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如何证明下面有趣的积分问题? 第1页

  

user avatar   yu-yiren-62 网友的相关建议: 
      

于是容易得到

依题设, 对所有 均取零,于是 右端分式必可通分为

其中 是常数。将 两端乘上 再命其中 可得

此外,在 中命 可得

于是

所以


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明明不是积分问题而是线性代数问题还邀请我,太难了……

考虑幂函数通过GS正交化得到的移位勒让德多项式:

由已知条件xf正交于 ,因此是 和 的线性和,由于常数项为零得到xf正比于 。再设f的常数项为a,对比一次项系数可解得:

于是由正交性,待证等式转化为

因此代入f的表达式:

其中用到了 ,证明留给读者思考




  

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