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根号 2 与根号 3 之和约等于 π,这是巧合,还是有什么特殊意义? 第1页

  

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黑色正六边形的面积是2倍根号3,蓝色正八边形的面积是2倍根号2,根号2和根号3的和就是两个多边形面积的平均值,而黄圈的面积正好是π。

曾经在某个地方看到过这个解释,忘记出处了。


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高赞说的没错

本质上就是圆的外切正六边形的面积

和内接正八边形的面积

的平均值


实际上,在数学史中,利用圆的内接或外切正多边形的周长或面积,去逼近圆的周长或面积,是早期数学家们的常规思路,举两个例子:

考虑一个数列问题:

数列 、 ,满足 , , , .

求数列 、 的通项公式.


这实际上是2200多年前,古希腊数学家阿基米德使用的割圆术

他本质上使用圆的外切正 边形的周长,以及内接正 边形的周长,去逼近圆周长

而 和 的几何意义,分别是圆的外切正 边形的周长与圆直径的比值,以及内接正 边形的周长与圆直径的比值

详见:


而刘徽则使用了另一种方法:

定义 为圆的内接正 边形的面积, 为圆的内接正 边形的边长

那么由几何关系,显然有:


令圆面积为 ,(根据几何关系)则有如下刘徽不等式


刘徽使用圆的内接正 边形的面积去逼近圆面积

详见:




  

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