黑色正六边形的面积是2倍根号3,蓝色正八边形的面积是2倍根号2,根号2和根号3的和就是两个多边形面积的平均值,而黄圈的面积正好是π。
曾经在某个地方看到过这个解释,忘记出处了。
高赞说的没错
本质上就是圆的外切正六边形的面积
和内接正八边形的面积
的平均值
实际上,在数学史中,利用圆的内接或外切正多边形的周长或面积,去逼近圆的周长或面积,是早期数学家们的常规思路,举两个例子:
考虑一个数列问题:
数列 、 ,满足 , , , .
求数列 、 的通项公式.
这实际上是2200多年前,古希腊数学家阿基米德使用的割圆术
他本质上使用圆的外切正 边形的周长,以及内接正 边形的周长,去逼近圆周长
而 和 的几何意义,分别是圆的外切正 边形的周长与圆直径的比值,以及内接正 边形的周长与圆直径的比值
详见:
而刘徽则使用了另一种方法:
定义 为圆的内接正 边形的面积, 为圆的内接正 边形的边长
那么由几何关系,显然有:
令圆面积为 ,(根据几何关系)则有如下刘徽不等式:
刘徽使用圆的内接正 边形的面积去逼近圆面积
详见: