群论研究结构，「结构」一词是什么意思？跟数学有什么关系？ 第1页

谢邀。

看到这个问题真是感慨万千。我最初接触群论是因为魔方，当时查了查群的定义，并不理解这个定义有什么意义，更不知道什么叫『代数结构』。

后来我选了一门近世代数课，也是从群的定义开始讲起。一切都很顺利，作业我也都会做，但我一直有种云里雾里的感觉——就像在一个黑屋子里摸索，慢慢地摸清了整个房间的陈设，但是仍然一片漆黑。直到有一天，我摸到了房间的电灯开关，打开了灯，整个房间都明亮了起来——那一天，我学到了『同构』。

啊我就是想借用一下怀尔斯的『黑屋子』比喻嘛……好了不说废话了，开始回答问题。

结构。嗯，大家听到这个词，脑海中浮现的大概都是这种东西：

而随便翻开一页自己的作业本，群论是这样的：

这有什么关系啊摔！！！！说好的『结构』呢？

那如果我告诉你群其实长这样呢：

是不是有点感觉？

嗯…这叫Cayley图…

好！我这就说『结构』到底是什么。注意，这篇回答仅仅针对题主的问题，只是一个小小的『科普』。为了可读性，我会牺牲一些严谨性。想学习群论的朋友们还是要认真看教材。

我们来回顾一个小学的知识：

奇数 + 奇数 = 偶数

偶数 + 偶数 = 偶数

奇数 + 偶数 = 奇数

偶数 + 奇数 = 奇数

没问题吧？

我们再来回顾一个初中的知识：

没问题吧？

重点来了：大家有发现这两组等式有什么相同之处吗？

都有四行！

嗯，没错…！

不仅如此，而且每组等式所描绘的只有两个元素：第一组是奇数和偶数，第二组是-1和1；此外，每组等式包含一个运算：第一组是加法，第二组是乘法。

具体一点说，每一组都是在某一个运算下两个元素的关系：两个相同的元素做运算，得到其中一个元素；两个不同的元素做运算，得到的是另一个元素。

好，现在我们用数学语言来描述一下。我们把两个元素记为和，运算用星号表示，于是有：

这就是结构。

在数学上，我们可以说，加法运算下的奇数和偶数，与乘法运算下的-1和1具有相同的结构，即『同构』。这个结构可以用{}与运算构成的群来描述。

画成Cayley图就是这样子：

其中运算满足：

啊，顺便说一句，奇数和偶数的加法其实就是模2的加法。

那还有什么东西也具有这个结构呢？好多好多！再举个例子：是『向后转』，是『立正』，而星号则表示口号的连接。

不妨验证一下：

军训时，教官说：“向后转！”同学们向右转了180°。

教官接着说：“向后转！”同学们又向右转了180°。

“不就又转回来了嘛…烦死了…”一同学小声抱怨。

“谁在嘀咕？！给我站出来！！！”

“啊不，我是在说您群论学得好…『向后转』『向后转』『立正』…”

好了不开玩笑了…我们继续…

『同构』又怎么样呢？在加法运算下的奇数和偶数，与在乘法运算下的-1和1具有相同的结构，so what？

这个问题问得好！我们来回顾一下刚刚说过的一句话：

具体一点说，每一组都是在某一个运算下两个元素的关系：两个相同的元素做运算，得到其中一个元素；两个不同的元素做运算，得到的是另一个元素。

这句话非常重要！这意味着，当我们说奇数偶数和正一负一的时候，其实我们是在说同一个结构！只是在用不同的名字来描述而已！

换句话说，我们实际上都是在说{}与运算构成的群。第一次我们把称为『偶数』、把称为『奇数』、把称为『加法』；第二次我们把称为『1』、把称为『-1』、把称为『乘法』。这两次其实说的内容本质是一样的！！

打个比方，这就像『苹果』和『apple』所描述的是同一个东西，只不过文字不同——前者是中文，后者是英文。

那同构有什么用？太有用了！！！一旦知道一个对象的性质，那么所有与它同构的对象的性质我们都知道了！

继续打比方：当我知道『苹果』的性质有『甜』之后，我不需要去尝『apple』也知道它也是『甜』的。为什么呢？因为『苹果』和『apple』是同一个东西！

再举个同构的例子：『加法运算下的实数』和『乘法运算下的正实数』是同一个东西！

为什么呢？我们随便找个正实数乘法等式，比如。

这个式子里有三个元素：『』、『』、『』，以及一个运算『』。

我们现在把它们换个名字：把『』称为『』、把『』称为『』、把『』称为『』、把『』称为『』。

现在，式子变成了：！

对于每一个正实数乘法等式，我们都可以用『』和『』来把等式重新『命名』，使之变成一个实数加法等式！

所以，『加法运算下的实数』和『乘法运算下的正实数』是同一个结构！只是仅仅在于它们的名字，正如『苹果』和『apple』所指代的是同一个东西！

注意，当我们说『同构』是『结构相同而名字不同』时，原本两个元素的名字不同，那么这两个元素的新名字也不同。

如果原来有些元素的名字不同，但换名字之后它们具有了相同的名字，那就不是『同构』而是『同态』。

『同态』长这个样子：

比如对于『加法运算下的整数』，我把所有被2整除的数重新起名，都叫『偶数』，其余的数都叫『奇数』，加法还叫『加法』。那么，『加法运算下的整数』与『加法运算下的奇数与偶数』是『同态』的。（注意，这个不严谨，其实应该说是模2加法下的0和1，因为两次『加法』的意义已经不同了。）

再放一张很喜欢的图，描绘的是群同构第一基本定理，具体我就不解释了：

啊，我想我算是在某种程度上回答了题主的问题了吧。

推荐一本书，叫《Visual Group Theory》。这本书借助直观的图像并不失严谨地介绍了群论，适合群论初学者阅读。本回答中的第三张图和最后两张图都来自这本书。

希望有所帮助。

想起M67曾经写过的一句话：

亲爱的，你与我同构。