先说答案,可能。
最简单的方法,任意一组勾股数的倍数依然是勾股数,所以取两组勾股数,找到斜边的一个公倍数,其他数按比例调整就可以了。
例如(3,4,5)和(5,12,13)都是勾股数,分别扩大13倍和5倍,得到(39,52,65)和(25,60,65)就满足题意。
如果再进一步,要求两组勾股数都是本原勾股数(3个数没有大于1的公因子),也是可以做到的。
例如(36,77,85)和(13,84,85)
要搞清问题本质的话,先要列出本原勾股数的公式
其中 互质且为一奇一偶(不满足这个条件,也能得到勾股数,但一定不是本原勾股数)
证明可以由初等数论得到。
由此引出问题:怎样的c可以表示为两组不同的正整数的平方和?
先放一个结论:一个正整数能表示成两个正整数的平方和 这个正整数没有 型的质数因子
接下来要用到一点近世代数的理论:我们在整数环里加入元素 ,把得到的环记作
可以发现,整数环 里 和每个 型质数都是 中两个元素的乘积。
例如: ,
由此也容易看出, ,
要得到一个可以表示为两组不同的正整数的平方和的数,只需要取两个 型质数,其乘积就满足条件。
例如:
两组因子先拆开,分别和另一组因子相乘,便得到两个结果:
由此看出: ,再代入勾股数公式,便可以得到之前的两组本原勾股数。
我们还能找到更多本原勾股数,它们的斜边相同。
得到四组 的值:
得到四组斜边相同的本原勾股数: