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是否存在正整数a,b,c满足a²+b²=c²,当给定一个c值时,a,b有多种取值? 第1页

  

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先说答案,可能。

最简单的方法,任意一组勾股数的倍数依然是勾股数,所以取两组勾股数,找到斜边的一个公倍数,其他数按比例调整就可以了。

例如(3,4,5)和(5,12,13)都是勾股数,分别扩大13倍和5倍,得到(39,52,65)和(25,60,65)就满足题意。


如果再进一步,要求两组勾股数都是本原勾股数(3个数没有大于1的公因子),也是可以做到的。

例如(36,77,85)和(13,84,85)


要搞清问题本质的话,先要列出本原勾股数的公式

其中 互质且为一奇一偶(不满足这个条件,也能得到勾股数,但一定不是本原勾股数)

证明可以由初等数论得到。

由此引出问题:怎样的c可以表示为两组不同的正整数的平方和?

先放一个结论:一个正整数能表示成两个正整数的平方和 这个正整数没有 型的质数因子

接下来要用到一点近世代数的理论:我们在整数环里加入元素 ,把得到的环记作

可以发现,整数环 里 和每个 型质数都是 中两个元素的乘积。

例如: ,

由此也容易看出, ,

要得到一个可以表示为两组不同的正整数的平方和的数,只需要取两个 型质数,其乘积就满足条件。

例如:

两组因子先拆开,分别和另一组因子相乘,便得到两个结果:

由此看出: ,再代入勾股数公式,便可以得到之前的两组本原勾股数。


我们还能找到更多本原勾股数,它们的斜边相同。

得到四组 的值:

得到四组斜边相同的本原勾股数:




  

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