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有没有一套统一的办法处理非初等的原函数? 第1页

  

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谢邀。

题主用方程引入虚数类比在初等函数中添加超越函数,这个类比是恰当的,但也有不恰当之处,那么我也试着从这个角度去说。

初等函数可以类比为代数数,即所有整系数方程的根的集合;超越函数可以类比为超越数,即整系数方程的根的集合。代数数对有限次四则运算以及开根是封闭的,初等函数对有限次四则运算、开根、嵌套封闭。

在代数数中引入有限个超越数,就能得到全体实数了吗?这个显然是不可能的。光是引入一个超越数,想要对乘法分封闭,实际上就引入了可列多个超越数,例如e,那么…e⁻²,e⁻¹,e,e²…都是超越数。代数数是可列的,是实数的零测集,一个一个引入是没有穷尽的。与之类似,初等函数引入超越函数,我们只能知道一个就拿进来一个。

怎么发现“新”的函数?就是要找到初等函数的突破口,让它不封闭,就能达到目的。比如只能进行有限次初等运算,那我们可以研究级数函数;对不定积分不封闭,那就研究积分的内容……

初等函数的藩篱还是太狭窄了,数学分析研究的中心对象是连续函数,可是就算是连续函,也是藩篱之的某个藩篱,概念之外的某个概念。




  

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