有哪些看起来很简单证明起来却很难的问题？ 第1页

所谓『看起来很简单』分两种，一种是普通人看起来很简单，一种是数学家看起来很简单。

普通人看起来很简单的问题，一般都是那种没什么属于或者符号，用日常语言一两句话说得清楚的。这种问题一般来说要么就是很显然的，要么就会非常复杂困难。比如之前有人提到过的四色定理，孪生素数猜想，以及每年春天都会冒出一大堆『证明』的哥德巴赫猜想。

这是因为现代数学能处理的问题，很大程度上局限于于现代数学工具所能解决的范围，而这些『朴素』的问题要转化成这套工具和语言体系所能解决的问题，一般来说都是非常困难的。比如费马大定理和庞加莱猜想的解决过程。问题的提出本身非常简单，但是都被划归到了非常深刻的数学，重新描述和处理之后，才得到解决。

至于数学家看起来很简单的问题，这个则是根据他自己的经验和直觉得出的结论，使得他觉得什么是简单的，什么是可以做的。但是这种基于经验和直觉的判断不靠谱的时候也不少。所以有的PhD就这样被导师坑了，选了一个巨难的或者根本就不可能做出来的问题去做自己的thesis。

比如被柯尔莫哥洛夫留成『家庭作业』让阿诺德『完成细节』的KAM理论。再比如闵可夫斯基『证明』四色定理的过程。

一次拓扑课，闵可夫斯基向学生们自负的宣称：“这个定理没有证明的最重要的原因是至今只有一些三流的数学家在这上面花过时间。下面我就来证明它。”……，这节课结束的时候，没有证完，到下一次课的时候，闵可夫斯基继续证明，一直几个星期过去了……一个阴霾的早上，闵可夫斯基跨入教室，那时候，恰好一道闪电划过长空，雷声震耳，闵可夫斯基很严肃的说：“上天被我的骄傲激怒了，我的证明是不完全的……”

Jordan闭曲线定理Jordan curve theorem：

简言之，在地上画个圈，就把地分成了圈里头和圈外头两块。

严格来说，二维平面上的任意一条简单（不自交）闭曲线，则这条闭曲线把二维平面分为正好两块。每一块是连通的，边界是这条曲线，有且只有一块是有界的。

典型的『这tm也要证』系列。第一个意识到这真的需要证的是Bolzano。

然而真证起来要用到代数拓扑，铺垫起来一大堆。当年学的时候大概用了基本群，证了两三页。

后来有了初等证明，也要五页。见http://www.mathnet.ru/links/d91b477e221f35c9b640f907a0f3929c/rm8482.pdf，不过是俄文的...

一大困难是简单闭曲线这个条件有点弱，性质可以不好，比如说这条曲线可以处处不可导，可以维数不是1（分形，比如Koch曲线），甚至可能有正的面积（Osgood curve - Wikipedia），这种时候这个曲线的量词甚至不应该用『条』。所以需要一些更一般的方法。

还是觉得这个显然的可以想想：啥叫简单闭曲线？啥叫圈里头？啥叫圈外头？啥叫边界？啥叫连通？啥叫有界？我是谁？我从哪来？我要到哪去？