能否绝对地区分出虚数 i 与 -i？ 第1页

谢邀. 啊，在一堆邀请我回答的作业题里面终于出现了高质量的问题！题主的观察非常重要，可以说是 Galois 理论之滥觞. 目前的回答里很多都提到了自同构这个概念，但似乎没有人强调必须保持某个基域不动. 实际上能否区分，关键看你站在哪个域的观点上看问题.

从代数的角度上，站在 内无法区分. 这件事可以表述为“任何由实数和加减乘除所写出的关系，如果 i 满足，那么 -i 同时也满足”. 换句话说：

对任何实系数多项式 , f(i) = 0 当且仅当 f(-i) = 0.

这个事实的证明正是基于相对自同构的观点. 事实上，

如果存在一个保持加减乘除的 到 的变换 σ （一个域自同构）使得对所有的实数 x 有 σ(x) = x, 那么所有“用实数和加减乘除所写出的关系”都应该不变.

slogan: 一个自同构是一种对称，而被自同构所等同起来的元素是不可区分的.

实际上上述命题可以写成 f(σ(x)) = σ(f(x)). 于是只要选取 σ 使得 σ(i) = -i, 就能说明“i 所满足的实系数多项式，-i 也都满足”（证明给有兴趣的读者留做习题）. 这个 σ 就是其他许多答主也提到的复共轭. 这可以直观地看成“±i 关于 是对称的”. 但要注意的是这并不是几何意义下的对称；复共轭恰好能解释为沿着 轴反射，但一般情形未必如此.

比如，大家都习惯于认为 和 完全是两码事——毕竟，一个是正数一个是负数. 但事实上如果我们忘记暂时实数的概念，仅仅站在有理数的角度，两者并不能被区分开来. 让我们暂时忘记实数的概念，仅仅在有理数上加入了一个符号 t, 规定 , 且规定 t 满足通常的运算性质，我们可以得到所有形如 a + bt 的数 (a, b 为有理数) 的全体，记作 ; 令 σ(a + bt) = a - bt, 则 σ 是保持运算的（验证！），也就是说 1 + t 和 1 - t 是不能用有理系数方程区分的，或者说 和 是关于 对称（也叫做共轭）的. 显然这里的对称就不是几何的，只有用正确的代数描述才能看出. 另外，如果站在实数的角度看，它们显然是不同的；它们也的确满足不同的实系数方程： 显然并不满足 (!)

这也顺带引出了一个问题： 当然是 的子集，但是 并不自动地是 的子集；要将 嵌入 中，需要做一个选择：t 可以映射到 或者 . （为了使 的条件成立，只有这两种选择）. 实际上这里有“两种”选择和 有“两种”自同构（全体不动和 σ）是紧密相关的. 题主的问题也是同理： 是 的子集，但 要和 等同起来，还差一个符号的选取. 而在 里面 ±i 当然是不同的.

既然说到这里了，不妨随便扯一点 Galois 理论. 一般地，我们考虑两个域 K ⊆ L. 保持 K 不动的 L 的自同构全体形成一个群，记为 Aut(L/K). 根据前面的分析，这个群其实蕴含了“L 中 K 系数多项式的根”之间的对称性. Galois 理论最著名的应用——证明某些方程不存在根式解——是基于这样一项观察：任何“p 次根号”开出来的结果，一定具有 p 重轮换对称性. 例如 2 一定有 7 个 7 次方根，而且这 7 个根之间都是对称的. 考虑 K ⊆ L₁ ⊆ L₂ ⊆ ⋯ ⊆ L. 假如每一步都是开根号得来的，那么 都应该是 p 阶循环群. 如果我们能研究清楚 , , 和 之间的关系，就能知道 Aut(L/K) 的结构了. 实际上不难证明这就是一个商群的关系；换句话说 α ∈ L 能够用 K 的元素加减乘除开方表示出来，当且仅当 α 和它所有共轭元的对称群能够通过不断商掉一个循环群而达到单位群；这就把一个复杂的代数问题本质上组合化了；剩下的就是一些形式化证明的工作了.

注：我跳过了对 Galois 扩张/正规扩张的介绍. 有兴趣的读者可以思考下面的习题：

1. 有几个元素？（提示： 要映射到谁？ 能否嵌入 ?）
2. 考虑 到 的嵌入. 有多少种？
3. 一般地，应该加上什么条件，才能避免这种情况？这个条件有什么好的作用？

最后说一个关于共轭的诗意解释：虚幻 (imaginary) 之人，只有找到自己的共轭元素与之结合才能成为真实 (real). 当然你要是喜欢 的那个例子，把虚幻改成不理性 (irrational), 真实改成理性 (rational) 也可以. 还有，这只适合于两个元素共轭的； 这种白学元素就……

补充：应 @王筝 的要求，稍微讲讲这件事情怎样用模型论的观点来看. 想法上基本就是最前面提到的观点，考虑语言中所有能用 A 中的参数能表达的关系. 假设 M 是一个模型，A 是 M 的一个子集，b 是一个元素. 我们可以考虑 b 在 A 上的 type, 定义为

也就是 b 所满足的所有的“可以出现 A 中的元素作为参数”的 -公式. 例如，取 , , , 为域的语言 (+, -, ×, 0, 1). 则 , , , 等等都是 i 在 上的 type 中的元素. “用 A 不可区分”可以定义为 type over A 相等. 不难证明，如果存在 M 的一个自同构保持 A 中的元素不动，且将 b 映射到 b', 那么 b 和 b' 的 type over A 必然是一样的. 所以以上的讨论都可以推广到模型论当中去. 区别在于，与仅考虑代数关系相比，我们考虑了所有一阶逻辑的公式，因此可以区分得更细（因为可以用 , 等）. 不过对代数闭域而言，由于有量词消去，区分能力是一样的.

我们还可以进一步考虑 n-元的 type, 即对于一个 n-元组，考虑所有它所满足的 n-元公式. 例如 (i, -i), 满足 , 等等. 我们可以发现 (i, i) 和 (-i, -i) 仍然是不可区分的，但 (i, i) 和 (i, -i) 是可以区分的——显然前者并不满足 (!) 这个事实当然也可以用代数几何的观点来解释，但用模型论看（我认为）更加直观.