柯西方程的解要么连续,要么在平面上稠密,因此任何能够推出不稠密的性质都可以推出连续。比如说某一点附近连续,某一点附近有界,某一点附近有下界,之类的云云。题目里的解就是唯一的。
这个函数方程可以明确被解出来(见分割线后的详尽解答,答案是对数函数),它是柯西(Cauchy)方程通过简单变换得到的,而解柯西方程的方法有时被称为柯西(Cauchy)法。
注 1:这些内容,实际上在一些经典的高中数学竞赛书中已有介绍,例如
注 2:问题描述中有“连续”这一条件,所以解出的函数是规则的。若去掉这一条件,则有一些特别的解,具体可见(需要科学上网?) https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_functional_equation。
注 3:问题描述中的“连续”也可改为“单调”或“在某段区间上有界”,解出的函数仍是一样的,解法也类似。
我们现在来说明下述三种函数方程 (本题为第三种) 都可以变换为 这种标准形式:
对第一个方程, 取 即有
对第二个方程, 取 即有
对第三个方程, 取 即有
因此, 只要解出了 为线性函数, 则 (比如) 本题 (作为第三个方程) 中,
即对数函数. 下面只须再解决 的情况.
设 满足以下条件:
证明: 存在实数 使得 .
思路是逐步考虑正整数, 整数, 有理数, 最后根据连续性得到实数的情况.
具体地, 令 得 . 设 .
对正整数 有
对负整数 , 有 为正整数, 故
对有理数 有
即
而对无理数 , 只须取有理数列 , 由连续性知
但另一方面,
故 . 综上得证.
更进一步的系统内容的学习, 见:
看了些答案,凡是用到微分,又不证明 可微的,都是不严格的。因为函数连续不一定可微。
根据 可以得到:
2.
3.
4
综上可得: 成立.
由于 在正实数域是连续的,进一步可以将 由有理数域 拓展到实数域 : 即: 成立。
大致证明如下:
由实数的性质,任意的实数 ,总存在一个有理数数列 ,使得:
两边同乘 :
又因为 是连续的,根据连续函数的定义有:
得到: 成立。
这样就得到了:
确实是对数函数,或者 ,没有别的可能了。
我努力工作,年收入突破百万。我楼下小卖部老板眼红了。
他说他每天7点开店,晚上10点关店,工作时间比我长,收入却比我低,这不公平。为此,他甚至发展出了一套小卖部老板人权理论,要求将卖给我的可乐从一瓶2块钱涨到100块钱。
他说之前他受太多委屈了,等他觉得委屈弥补回来了,他会把价钱降到一瓶4块钱的。但想像原来一样2块钱一瓶那是永远不可能的。
我默默想了一下,走多一百米,用2块钱在另一家店买了一瓶可乐。
这件事被小卖部老板知道了,他生气了,他跑去骂另一家小卖部老板,骂他不尊重小卖部老板人权理论,并且在我家楼下贴大字报隐晦地骂我。
你说我为啥讨厌他?
我不只讨厌他,我甚至想报警呢。可惜警察说这事他们管不了。
……
这件事还有后续。
后来,小卖部老板人权组织找到了我,跟我说我楼下的小卖部老板的小卖部老板人权理论不是正宗的,他们才是正宗的。
我说,那你们的是怎么样的?
他们说,我们卖3块。