请问这个完全剩余系的性质如何证明？ 第1页
1
timosky 网友的相关建议:
首先你这完全剩余系定义跟我见过的不一样……应该把余0也加上吧。不过这个不影响结论，毕竟你可以把两个0放在一起凑成0×0=0。
现在考虑1到n-1，将其以某种方式排列，形成完全剩余系a₁到aₙ₋₁，再排列，形成完全剩余系b₁到bₙ₋₁，对应相乘并模m，得c₁到cₙ₋₁。最后要证这些c不是完全剩余系。
首先是m=p（p为素数）的情况，这个比较简单，注意到(p-1)!≡-1(mod p)即可：所有a与b乘到一起，模p余(-1)²=1，而所有c乘到一起，模p余-1，矛盾。
对于m=dp，p为质数，d≥2的情况，我们先假设可以形成完全剩余系。这里有个有趣的地方（下一段给出证明）：当c为d的倍数时，对应的a与b也应为d的倍数。于是我们可以找出(p-1)组均为d的倍数的(a,b,c)。取出，除以d，即得“p的完全剩余系乘以p的完全剩余系得p的完全剩余系”，与上一段结论矛盾。
下面证明这个“有趣的地方”：注意到，只要a和b其中一个是d的倍数，对应的c中就含因数d。故而为d倍数的a仅能与为d倍数的b配对，否则产生的为d倍数的c就变多了。
1
相关话题
若 π 被证明是有理数会对世界有何影响？想知道这个定积分怎么算?∫[0-1]（arcsin√x）/√(1-x+x^2)dx？
虚数是负数的平方根，为什么是在三次方程中才出现的呢？
在你的研究领域(物理)里，有哪些数学课是应该在读本科的时候学的？
如何证明此角度为90度?
如果可以从头重新翻译，你会换掉哪些不太好的科学名词译名？
根号 2 与根号 3 之和约等于 π，这是巧合，还是有什么特殊意义？
如果“P=NP”得到证明，意味着什么？
「一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步」是什么意思？
小学生有必要上数奥班吗？
前一个讨论
如何评价原神安如磐石？
下一个讨论
小孩现在有没有必要拿香港身份？
相关的话题
学数学有什么好处？我们为什么要学数学？问个傻问题，∵0÷1=0，∴0÷0=1，∵0÷2=0，∴0÷0=2，∴1=2？是因为n÷0没意义吗？
各位大佬有什么好方法证明这个不等式?
知乎现在都有哪些值得关注的严肃输出？
为什么 1 不能被认为是质数？
想问下大神连续函数不一定有界的证明?
物理学常量（例如光速）把量纲去除（如果有的话）都是有理数还是无理数？
有哪些第一眼就惊艳到你的公式？
我知道 ∑n，∑n²，∑n³ 的结果，那是否能够求出 ∑n^k（k 为正整数）的一般形式通项公式？
人类对自然科学的探索是否会因其自身的复杂而走向停滞？
请问这两个在表达方式上很相似的结论是否有相通的地方（感觉他们证明方法也很像）？
交换环的子环是否一定是交换环？
如何求得这个级数？
做科研时，都遇到过哪些灵光乍现（Eureka Moment）？
真的不喜欢数学怎么办？
有哪些看起来很简单证明起来却很难的问题？
计划经济为何效率低？
熵权TOPSIS法和投影寻踪法解决数学建模评价类问题各有什么特点？
如何看待美国学者称经济学用了错误版本的微积分？
如何看待 Atiyah 宣布证明了黎曼猜想？
1000桶水，其中一桶有毒，猪喝毒水后会在15分钟内死去，想用一个小时找到这桶毒水，至少需要几头猪？
数学学来有什么用？
柯西黎曼条件为什么这么神奇?
以「不可证伪」批判中医的人，为什么没有以此批判数学？
一堆密堆积的球之间的间隙在一起看起来是什么样子的？
为什么要构造出范德蒙行列式？
如何证明这个关于ζ(5)的等式？
数学中，梯度可不可以理解为电场线垂直为等势线？
研究数学是不是必须有天赋？
灭霸使用了什么样的随机数生成方法来保证公平？