我觉得如果我去出题,肯定是朝着切合现实和应用的角度,在当前这个全球对抗疫情的情况下,我觉得一个很有吸引的题目是针对疫情。
在当前疫情的严峻形势下,有很多内容是需要我们关注的,而这其中,包含了不少数学的内容,至少有3个内容我觉得是很值得研究的
1,对疫情发展情况的预测,这是一个重要的数学内容,基于各地的数据,给出对疫情传播的较为接近真实情况的预测和判断就需要大量的数学知识来建模,而一个模型越精确,越可能对现实产生影响,帮助各国的卫生部门做出判断,从而调整防疫治疗策略以避免更大的损失。
2,对新药的研发。这次疫情中,一个重要的难题就是,我们缺乏有效地药物,很多传统的抗病毒药物在这次疫情中的表现都不是特别的出色,这也导致大量的人因此而出现重症甚至导致死亡,如何寻找新的有效药物甚至人工设计药物是一个重要的思路。不过,和很多人以为这是药学的内容不一样,其实这背后本质上是各种数学模型,通过对病毒结构的解析,然后针对具体的靶标然后筛选药物,按照结合和抑制等诸多原理去筛查药物甚至设计药物,这都是需要通过数学来建模、分析和量化的。
3,病毒的溯源。尽管目前对病毒的溯源似乎已经告一段落,很多文章也指向了穿山甲等生物,但是也有研究表明,穿山甲似乎并不是中间宿主,因为从进化上来看,这个需要好几十年,不太现实。因此,溯源事实上处于停滞状态,这也给病毒留下了潜在的风险,如果我们无法找到中间宿主,那么下一次突然爆发或者卷土重来随时可能发生。而如何溯源,基本上是基于对基因的分析,而这分析的背后其实也是依据数学,比如比对分析,比如进化距离计算等等本质上就是一堆数学模型在发挥作用。
可以说,无论是疫情预测、还是新药研发以及病毒溯源,本质上都是在使用数学的知识来进行研究,涉及到云计算、AI、数据技术、统计学等诸多数学领域,模型越精确可能效果越好。因此,在这种情况下,如果我来出题,最大的可能性就是结合疫情,让这次竞赛,不仅仅是一场单纯的数学竞赛,而是能够为现实提供解决思路的一次贡献。
数学不应该是阳春白雪,而应该是一种全民参与的内容
数学是科学之母,就如阿里巴巴达摩院提到,有数学才有未来,数学是一切自然科学的基础,也是一切科技进步的源动力。只有数学取得了进展,然后才能给其他科学学科提供基础支撑,让这些学科不受制于工具上的限制。
然而,这些年,数学走的有点偏,各种让人一看就昏昏欲睡或者天书一样的内容也让数学越来越远离群众,到了最后只成为一少部分人的玩物,数学家们乐的自我陶醉,而大众们则坚信“数学学再好买菜还不是只用加减乘除这种想法”。可能有些人乐于看到这种,并坚信数学这种理论学科应该成为金字塔尖的阳春白雪,普通人不理解就算了。在我看来,这是一种极其短视的行为。
一门学科的发展,从来都不是少数人的自娱自乐,必须建立在广大的群众基础之上才可以。广大的群众基础,从最基本的意义上是给这些顶级学科提供源源不断的人才,让感兴趣的人前赴后继,这样才能让整个学科不至于陷入人才断层的困局。当然,即便现实一点,如果公众不了解整个学科,他们会对税收投入到这个学科产生怀疑,那么最终也是导致相关学科的经费开始出现短缺,最后就重演“做导弹不如卖茶叶蛋”的历史。
所以,我认为,阿里推出的全球数学竞赛,目的是吸引全民对数学的兴趣,推动数学研究的前行,那么,他们需要做的就是让数学更能广泛的让群众接受,让大家有兴趣参与。
这一点,从阿里的数学竞赛题目我们也可以略窥一斑,预选赛第一轮一共4道题,其中有两道是很精彩的应用角度的,第一题是面条扭结问题,其背后是数学中的拓扑,第四题是蚂蚁森林的相关的内容,背后涉及到了组合、概率等方面的数学知识。
可以说,这一点非常符合贴近实际生活的数学应用题,在大家熟悉的现象背后隐藏着数学的知识,真正做到让群众能够亲近题目,并能够从中感受到数学,这样才能吸引更多的人关注数学。
所以,未来,我希望阿里的题目能够更多的接近生活,甚至四道初赛题都可以是和生活息息相关的数学,这样可以激发更多的人去了解数学,学习数学,为数学的研究提供更多的后备力量。
你的感觉没错,确实容易产生这样的感觉。因为紧致性(简称紧性)的定义本身是与实数连续性没什么关系的(我更愿意称这里的“连续性”为完备性,因为我总感觉连续性是用来描述映射的,完备性更科学一点)。
首先,什么是紧性?就是任意开覆盖都有有限子覆盖。怎么理解呢?实际上,紧性就意味着一种“有限性”。它仿佛条条框框的约束,把一个集合的性质约束得很“有限”,这就是紧。具体来说,就是:紧集必是有界闭集。也即,如果一个集合是紧的,那么首先它不能无界,其次不能开。无界和开有一种共性:没有边界(boundary),也就是没有了“紧”的束缚。反例当然很容易举,随处可查。通过阅读反例你大概可以更理解到我的意思,也可以明白为什么这样定义紧性。
那么,这又与实数的完备性有什么关系呢?实数的完备性指出的是,在实数集中,有界闭集都是紧的,结合上述文字,也即这二者等价。仅以 为例,我们来回想一下这个定理的证明过程,大致是这样的:利用反证法,对一个有界闭区间,将其无限细分,且每次都存在细分的区间都不能被有限开集覆盖(否则矛盾),最终由闭区间套定理得到一个聚点,它的开邻域可以覆盖无限细分的那个区间,矛盾。这里哪用到了完备性呢?闭区间套定理。
怎样直观理解这个证明的想法?实际上我们可以倒过来看。一个孤立点当然是紧的,可以说它的一切都被限制(约束)了。由于实数的完备性,每个孤立点之间没有“空隙”,因此,它们可以共有这种紧性,也就是说,可以把这种紧性“连起来”,从而整体上也表现出紧性。反之,若我们考虑不完备的空间,那么在“连接”的过程中就会出现连接处“连不上了”的情形,也就是连接处没有边界,从而破坏了约束(紧性)。这在证明中就体现为,每个有界闭区间都可以化归到它的一个聚点上去处理,如果全空间不完备,恐怕就不能如此操作了。
简言之, 的完备性保证了紧性的“不变性”。反过来也成立,可以想一想如何用有限覆盖定理去证明其他的完备性定理。
讲得直观,缺乏严谨性,词不达意,望有所帮助。