为什么要公理化实数，而不是从自然数导出？ 第1页

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这代表两种不同的观点：一种是构造式的，我想要得到一个东西，就一定要把这个东西具体地构造出来，具体地写出来；一种是公理化的定义，比如实数可以定义成“不可数的完备的阿基米德有序域”（我不确定有没有记漏什么必要的条件或者多写了什么不必要的条件），然后你可以证明这样的东西如果存在，一定是唯一的（在同构意义下唯一）；然后最关键的是这样的东西为什么存在？有点耍流氓的做法是：我们可以通过经典的构造实数的方法（柯西列，戴得金分割，无限小数，等等，好多种不同的版本），构造出满足这些条件的一个实数的模型出来。。所以它当然就存在了。。

那么在已经有具体构造方法的前提下，为什么我们还关心公理化呢？因为这些公理刻画了你想描述的对象的本质属性。这个特点在实数理论里面都还不是很明显，在拓扑的同调理论里面公理化的方法就显示出它的好处了——拓扑里面有N多种方法构造拓扑空间的同调群，但是“很巧”不同的方法构造出的同调群都是同构的。这是为什么呢？有什么比较自然的理由可以说明这一点呢？后来人们发现了同调群的几个“关键属性”，就是可以把它看成拓扑空间范畴到分次阿贝尔群范畴上的一个函子，这几条“关键性质”可以描述成这个函子应该满足的几条公理。然后人们证明了满足这些公理的函子是唯一的。然后用不同的方法具体构造出的具体的同调群通通满足这几条公理，根据general nonsense,他们自然同构。

其实这种思维方式对学数学是有好处的，它有助于让你看到真正重要的东西，而暂时忽略那些细枝末节（但不是说细枝末节不重要，做具体的东西，比如具体计算的时候，细枝末节还是很重要的）。比如对行列式这个概念，非数学专业的学生，可能觉得这是个按照矩阵阶数递归定义的一个东西，很凌乱，然后有些人或许知道行列式完全展开后是n!个单项式的交错和，但是这种定义仍然很凌乱。对我来说，比较简洁清楚的定义是：“行列式是定义在矩阵上的一个多重线性的、交错（即反交换的）、归一化（单位矩阵行列式为1）的函数”，这种说法就把行列式的几条关键（代数）性质抽象成公理了，而且你可以验证：这几条关键性质，就已经把行列式完全决定了（即我上面反复提到的 唯一性）。所以这也就解释了为什么算行列式的时候那些技巧如此有效，因为那些技巧用到的几条基本性质（多重线性、反交换、归一），真的就完全刻画了行列式、保存了行列式的所有信息。

传统数学中有实数的直觉，即柯西列的等价类。但很不幸，这个定义依赖于选择公理。而选择公理应该是能不用就不用的。很多时候为了专心研究应用，而非打基础，干脆把实数的性质（稠密，全序等）直接作为不可置疑的前提就完事了。

直觉主义的做法是承认自然数，然后定义有理数，定义Dedekind Cut作为实数，这就避免了选择公理，乃至排中律的引入。Dedekind Cut的有趣之处在于我们可以定义出一大堆不同强弱的实数体系。这些实数谱系对数学基础，逻辑学和理论计算机科学都非常有意义，但对应用数学家来说，无异于文字游戏。

也有数学家，美国的Bishop结合了上面两种思路，用可判定的柯西列作为实数定义，然后发展出了一套构造主义的数学分析体系。这项工作影响还比较大，有Bishop学派的说法。