数学中有哪些巧合让人眼前一亮？ 第2页

谢邀

前一阵刚好听别人讲了一个神奇到不科学的代数式:

即：

当时瞬间觉得自己代数都白学了，竟然还有这么美的结论不知道

谢谢大家的赞，刚刚更新完，新鲜出炉！

几何篇

1. 圆锥问题

3D空间中一个圆锥体，用一个平面和圆锥体的锥面相交（不经过圆锥顶点），当交截线是闭合曲线的时候，会形成一个横截面。“显然”，当平面和圆锥底面平行的时候，这个交截线是一个圆。不平行的时候，交截线会是什么图形呢？

从上图看很像椭圆啊？可镜头是以透视方式去观察的，在3D空间中的透视效果如何还原成空间中本来的形状，这个需要我们有一定的空间想象能力。算了， 我们还是把镜头调整一下，让我们的视线和平面垂直，看一下横截面是什么形状吧。

好标准的一个椭圆啊！有这么巧合的事情吗？还是这个平面倾斜的角度恰巧形成一个椭圆？椭圆和圆锥体他们有什么关系啊？

我们首先来看一下椭圆是怎么形成的？

高中的时候我们学过，椭圆有2个焦点，椭圆上任意一点到两个焦点距离的和是一个常数。那这个性质和圆锥到底有什么关系呢？

如果大家还有印象的话，椭圆，抛物线和双曲线统称为“圆锥曲线”，难道就是因为平面和圆锥面相交会形成椭圆，我们就把它归为圆锥曲线的一种吗？不同倾斜角度的平面和圆锥体相交，是不是会形成不同的曲线？

不卖关子了，数学上确实可以证明，上述交截线就是一个椭圆。

有很多证明方法，但都免不了复杂的数学推导，过程繁琐。我这里再介绍一种”显然“的方法。不用动笔，跟着我的思路走，结果也会慢慢浮现。

我们首先在圆锥体里面塞两个小球，一个球在平面上面，一个球在平面下面。假设这两个球可以逐渐变大并且维持球体的形状。我们先看上面这个红球。

红球不断的变大，当达到最大的时候，红球会有什么特征呢？

卡在里面一动不动，和平面相切于一点，同时会和圆锥面相切与一个圆处（如下图黑色圆圈）。

同理，下面的蓝球也和平面相切与另外一点，并且也会和圆锥面相切与另外一个圆处（也如下图黑色圆圈）。

如上图，两个球会和横截面形成两个切点。

这时候我们我们回顾一下上面椭圆的性质，

椭圆上任意一点到两个焦点的距离和是一个常数。

这两个切点是不是焦点呢？如果是，我们怎么将距离和转化为常数呢？看下图

椭圆上任意一点 ，到与小球的切点 的距离分别是 ，我们现在的目标是看看能不能将 转化为常数。

在这之前，先看另一个问题。

初中我们都学习过，在平面中，圆外一点C向圆做切线，则两个切线长度相等（切线长定理），用全等三角形很容易证明，如下图。

同样的结论对于三维也是适用的。

3D空间中，球外一点A，分别向球做切线，则切线长度同样相等。

将切线长定理扩展到三维以后，我们再回头看看上面的题，是不是很容易证明了。

为了看起来方便，将上面的图重新copy一遍。

点在圆锥面上，圆锥顶点 连接圆锥底面圆上任意一点，我们叫做圆锥的母线。

这里，我们让母线经过 点，于是母线会分别和上下两个圆形（两个小球和圆锥面相切所形成的）相交于 。由于母线和两个小球相切，所以 分别于蓝色和红色小球相切。

同时， 在横截面上，这个横截面又同时与上下两个球相切， 又是和两个小球的切点。所以 和 同时与蓝色小球相切， 和 同时与红色小球相切。”显然“

，

于是

而 在横截面确定下来以后，无论 点如何变化，的间距是固定的。

交截线上任意一点到 的距离是常数，所以交截线是椭圆，而切点 恰好是椭圆的焦点。

证毕。

不用高深的数学知识和复杂的推导，初中生就可以理解其中的美妙，这就是数学之美吧~这种灵感只能是上帝赐予的~

我们再证明平面几何的时候，经常会用到”辅助线“，这里面我想把这两个小球叫做三维空间的”辅助球“，希望这个证明能让不喜欢数学的人爱上数学。

2. 三圆问题

任意三个圆 ，两两相交，如下图。会形成三条公共弦。这三条公共弦会有什么神奇的特征呢？

我们来看一下

咦？好像 3条公共弦相交于1点啊？是不是巧合？我们再做一个图试试。

还是相交于一点啊？

运用归纳法，是不是三个圆两两相交，公共弦是不是一定相交于一点啊？

总算找到一个反例，三条公共弦平行。那是不是只要不平行，三条公共弦一定相交于一点呢？

常规的证明我们就不介绍了（三线共点经常会用反证法，也可以用解析几何的方式证明）。这里我们介绍一种“显然”的方法，不用动笔，只需要跟着我的思路，结果就慢慢浮现。

我们看看提高一个维度会发生什么？

当我们把二维上的圆形提高一维变成三维空间中的球体，每个圆形的半径作为球体的半径。因为三点确定一个平面，所以3个球体的球心形成一个平面，正好是三个球体的“赤道面” - Plane。而这个“赤道面”会和3个球体形成一个截面，这个截面就是题目中的3个圆。

那我们在看看在三维空间中，这3个球体有什么特性？

从图中可以看出，每两个球体也会相交形成一段圆弧， （这里只考虑了在球体外的部分，实际上球体内还有相交的圆弧）。在“赤道面”镜面对称也会各有一段一样的圆弧。

从图中显然可以看出，这三个球体一定会有2个公共交点 ，一个是 ，另外一个和“赤道面”镜面对称的 。

“显然”，这三段圆弧在“赤道面”的投影就是题目中的公共弦（球体内的圆弧一起考虑进去），而 在“赤道面”的投影 就是这3个公共弦的交点。所以，交点有且仅有一个。

证毕！

其实我想把这种证明方法称作“降维打击”。

做了这个多图，累死我了。如果觉得不错，麻烦点个赞~

代数篇

斐波那契数列大家都知道，

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368 ........

在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：

可大家或许不知道，斐波那契数列又称“黄金分割”数列。前一项与后一项的比值越来越接近于黄金分割数 。

是巧合还是我们仅仅做了几个数的归纳，并没有实际的理论支持呢？

我们试着来证明一下

证毕。

奇妙的是，不仅仅斐波那契数列和黄金分割率有关，

这两个极限也和“黄金分割数”有关，大家可以尝试证明，结果和 有什么关系？

这是数学的巧合还是大自然蕴藏的数学之美？我一直认为上帝是一个高超的数学家和设计师。

后续更新数论篇........

以上证明仅仅提供另外一种巧妙的思路，仅对开拓思维有帮助。严谨的数学证明显然不能用“显然”二字。

最后，数学思维能不能作为我们生活中分析问题，解决问题的底层工具呢？让我们避免生活中的非理性，成为生活的解题高手。请参见我的另一篇回答（很长）

码了这么多图和公式，还请留个赞吧~

椭圆中有几个非常神奇的定理：

1.Marden定理

设 p(z) 是一个复数域上的三次多项式， z1 、 z2 、 z3 是 p(z) 的三个根，它们在复平面上不共线。那么，在这个复平面上存在唯一的椭圆，使得它与三角形 z1z2z3 的各边都相切，并且都切于各边的中点处。并且，这个椭圆的两个焦点是 p'(z) 的两根。

读完这个结论以后，你一定会被数学之美深深地打动。这个结论出现在了 Morris Marden 于 1945 年发表的一篇论文里，因而被 Dan Kalman 称为 Marden 定理。 Marden 本人则认为，这个结论最早是由 Jörg Siebeck 在 1864 年发现并证明的。下面我们简单地来证明一下这个结论，证明过程出自 Dan Kalman 在 2008 年发表的获奖论文

以上转自Matrix67的博客，这里并不是打算重复Matrix67对证明过程的叙述，对证明感兴趣的可以前往他的博客：

椭圆的魅力之旅才刚刚开始

首先模拟一个场景:

是域上的多项式，

将多项式的三个根在复平面用点表示出来，并作出与三边中点相切的椭圆，即得下图：

这时候如果将三个顶点与切点相连的话

看出什么问题没？三角形的重心与椭圆的中心重合了！

别急，这只是开始

关于三角形重心有个定理，重心把中线分为1:2的两段，那么如果以G为位似中心，将椭圆放大为两倍会发生什么呢？

接下来是见证奇迹的时刻

天呐，竟然成了的外接椭圆

这个椭圆的身份似乎不简单

回想起1826年的那一天，传说在这一天，有一个来自瑞士的一个几何大师Jacob Steiner见人们整日没精打采，便提出了两个有趣的问题：

在无数个外接椭圆中，哪个椭圆的面积最小？

在无数个内接椭圆中，哪个椭圆的面积最大？

后人为了纪念这事，将最小面积的外接椭圆命名为：外接Steiner 椭圆，最大面积的内切椭圆命名为：内切Steiner 椭圆.

没错，上面的两个椭圆就是的外接Steiner 椭圆和内切Steiner 椭圆.

2.接下来要说的是另一个故事

椭圆中有无数个内接三角形，什么时候周长取得最大值呢？

想想也不简单，直接上结论：

当椭圆的内接三角形为光反射三角形时，三角形周长取得最大值

何为光反射三角形？

一束光从B飞向A，在A点被椭圆挡住了，过点A作椭圆的切线，然后作出法线，这时候按光的反射定律，反射角等于入射角

同理，光从A到C，再从C到B，按照同样的规律飞行

椭圆，光，三角形就这样幸福美满的生活在一起了.

然后有一天三角形怀孕了，生出了一个宝宝

根据生物的隔代遗传，这个宝宝和它的奶奶有着同样的眼睛，人们习惯叫它焦点

偏个题，与数学有关的巧合。

1933 年，匈牙利数学家 George Szekeres 还只有 22 岁。那个时候，他常常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才——Paul Erdős 大神。不过当时，Erdős 只有 20 岁。

在一次数学聚会上，一位叫做 Esther Klein 的美女同学提出了这么一个结论：在平面上随便画五个点（其中任意三点不共线），那么一定有四个点，它们构成一个凸四边形。Szekeres 和 Erdős 等人想了好一会儿，没想到该怎么证明。于是，美女同学得意地宣布了她的证明：这五个点的凸包（覆盖整个点集的最小凸多边形）只可能是五边形、四边形和三角形。前两种情况都已经不用再讨论了，而对于第三种情况，把三角形内的两个点连成一条直线，则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在这条直线的同一侧，这四个点便构成了一个凸四边形。

众人大呼精彩。之后，Erdős 和 Szekeres 仍然对这个问题念念不忘，于是尝试对其进行推广。最终，他们于 1935 年发表论文，成功地证明了一个更强的结论：对于任意一个正整数 n ≥ 3，总存在一个正整数 m，使得只要平面上的点有 m 个（并且任意三点不共线），那么一定能从中找到一个凸 n 边形。 Erdős 把这个问题命名为了“幸福结局问题”（Happy Ending problem），因为这个问题让 George Szekeres 和美女同学 Esther Klein 走到了一起，两人在 1936 年结了婚。

对于一个给定的 n ，不妨把最少需要的点数记作 f(n)。求出 f(n) 的准确值是一个不小的挑战。由于平面上任意不共线三点都能确定一个三角形，因此 f(3) = 3 。Esther Klein 的结论则可以简单地表示为 f(4) = 5 。
当 n = 5 时，八个点是不够的。下图就是八个不含凸五边形的点。

利用一些稍显复杂的方法可以证明，任意九个点都包含一个凸五边形，因此 f(5) 等于 9 。

2006 年，利用计算机的帮助，人们终于证明了 f(6) = 17 。对于更大的 n ， f(n) 的值分别是多少？ f(n) 有没有一个准确的表达式呢？这是数学中悬而未解的难题之一。

不管怎样，最后的结局真的很幸福。结婚后的近 70 年里，他们先后到过上海和阿德莱德，最终在悉尼定居，期间从未分开过。 2005 年 8 月 28 日， George 和 Esther 相继离开人世，相差不到一个小时。

—————————————转载

一个幸福的结局| Matrix67: The Aha MomentsMatrix67: The Aha Moments

想到一个

一个高为a半径为z的pizza的体积为pizza

(ಡωಡ)

非原创

小时候，知道一次函数是一根直线，二次函数是抛物线，于是我就想知道三次函数，四次函数是什么样的呢？当时的我选择百度一下图片(当然图片是我刚刚百度的)：

哇这三次函数"勾"了两次！再看看四次函数吧：

哇勾了三次，是不是 次函数就要"勾" 次呢？

哇这六次函数不就"勾"了五次吗？于是感觉发现了新天地.

后来发现关联栏里面有一个叫三角函数的东西，于是点击，查看：

卧槽，这不就是"勾"了无数次的一个 次函数吗？于是我选择直接百度“函数”的图片：

我就想，是不是所有平滑曲线函数都可以用一个 次函数代替呢？

后来初中末期时候，因为酷爱数学，所以自学一些东西，才知道了结果，就是大名鼎鼎的 展开( 余项).

【Th】设函数 在 处 阶可导，则当 时，有：

事实上可以写成 级数 这果然是一个 次函数嘛啧啧啧.

于是我就入了数学（分析）这个大坑而无法自拔...

再更新(2019/8/6)：

事实上我所谓的“勾”大家应该都看出来了，是多项式函数的极值点，下面我们找出这种函数，以下全是爆算，推荐大家别看.

假设这个函数为 ,也就是说 的根为 个两两不相同的实根，也就是说 可以表示为 ，其中 都有 .事实上显然 .则积分得 :

事实上

则因为 ，代入得到：

只要 可以表达出这样的形式就可以勾那么多次了!

再更新(2019/8/7):

为了让式子更加好看，我们引入初等对称多项式 ( 元)：

记 ，则函数可以表达为：

这么一个好看的式子.

这个题目都出来那么久了，现在答应该没人看得到了吧。那就随便说两句。

那是我学抽代的时候，偶然发现的——

其中，，是Möbius函数，的意思是与互素。

这个Möbius函数是什么呢？

首先，

当存在平方因子时，

当是素数或奇数个不同素数之积时，

当是偶数个不同素数之积时，

也就是说，所有的n次本原单位根之和就是对应的关于n的Möbius函数。

就感觉吧，等式左边那么多的三角，而且还有虚数。加起来竟然就是0和正负1那么简单，很神奇。

不知道算不算巧合：

John Conway曾悬赏1000美元，求证如下问题：

将一个自然数做质因数分解，写成通常的指数形式，底数按从小到大排列。比如：

，然后把分解的结果的指数部分“放平”，并去掉乘号，得到2235，对2235同样操作：

，“放平去乘号”，得35149。35149是一个质数，因此35149继续如此操作，会得到自身。因此有这个过程：

Conway试了很多合数，似乎如此变换最终都能终结在一个质数上。他悬赏1000美元，给任何人证明或推翻此结论。

2017年，James Davis(好像是一个大学生），发现：

(把它放平看看)

从而推翻了Conway的猜想，并领走了1000美元！

可以尝试证明以下公式

3. ,

很多人问5为什么往上便不成立，这里有一篇文章可以看一下：