由于具体细节太多,本片回答仅仅展开简单的思路。在解析数论领域中人们通常会使用von Mangoldt函数来进行素数研究:
确切地说,倘若设π(x)为素数计数函数、 则有:
因此接下来我们可以把注意力转移到 了。
利用带余项的Perron公式[1],可知当 时,有:
其中 、 表示x与离其最近的素数幂之距离
至此我们已经将zeta函数与素数分布问题联系在一起了。接下来我们就来看看如何去计算(2)左侧的积分了。
事实上可以证明存在一个序列 使得 在区域 中一致成立,且对于任何的实数T>0均存在n使得 [2]。
除此之外,我们还可以证明对于任何 正整数m,当 时总有
这些上界足以帮助我们使用留数定理来进行积分:
其中D表示定点为 的逆时针长方形围道
现在将我们总结出来的 上界代入到(3)的误差项中,便有:
其中
至此我们已经做完了所有需要的估计了,接下来我们就可以来计算剩下的留数积分了。
现在用 表示zeta函数的非平凡零点、用 表示zeta函数的平凡零点[4]。则根据拉格朗日展开公式[5],可得:
结合对数函数的幂级数展开式,将(5)代入到(4)中,我们就得到了 关于zeta函数零点的精确公式:
其中
为了更加便利地估计(6),我们需要引用一些zeta函数非平凡零点分布的基本结论:
设 ,则有 [6],利用这个结论我们就可以对(6)里的非平凡零点求和进行有效地估计:
因此结合(7),假设 的非平凡零点都满足 (其中 )则:
现在将 代入到 和(6)中,我们就得到了 更简易的渐近展开:
虽然(8)给出了zeta函数零点分布与 的关系,但是为了更加直接地与素数分布联系起来,我们希望得到一个适用于π(x)的渐近公式。现在把(8)代入到(1)中,我们就能得到最终结论:
特别地,当黎曼猜想成立的时候,(8)和(9)就可以变成这样: