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黎曼猜想具体是如何推出素数定理的广义形式的? 第1页

  

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由于具体细节太多,本片回答仅仅展开简单的思路。在解析数论领域中人们通常会使用von Mangoldt函数来进行素数研究:

确切地说,倘若设π(x)为素数计数函数、 则有:

因此接下来我们可以把注意力转移到 了。

的反演

利用带余项的Perron公式[1],可知当 时,有:

其中 、 表示x与离其最近的素数幂之距离

至此我们已经将zeta函数与素数分布问题联系在一起了。接下来我们就来看看如何去计算(2)左侧的积分了。

围道积分的估计

事实上可以证明存在一个序列 使得 在区域 中一致成立,且对于任何的实数T>0均存在n使得 [2]

除此之外,我们还可以证明对于任何 正整数m,当 时总有

[3]

这些上界足以帮助我们使用留数定理来进行积分:

其中D表示定点为 的逆时针长方形围道

现在将我们总结出来的 上界代入到(3)的误差项中,便有:

其中

至此我们已经做完了所有需要的估计了,接下来我们就可以来计算剩下的留数积分了。

留数的计算以及最后的结论

现在用 表示zeta函数的非平凡零点、用 表示zeta函数的平凡零点[4]。则根据拉格朗日展开公式[5],可得:

结合对数函数的幂级数展开式,将(5)代入到(4)中,我们就得到了 关于zeta函数零点的精确公式:

其中

zeta函数的零点分布与渐近展开的余项

为了更加便利地估计(6),我们需要引用一些zeta函数非平凡零点分布的基本结论:

设 ,则有 [6],利用这个结论我们就可以对(6)里的非平凡零点求和进行有效地估计:

因此结合(7),假设 的非平凡零点都满足 (其中 )则:

现在将 代入到 和(6)中,我们就得到了 更简易的渐近展开:

从 到π(x)

虽然(8)给出了zeta函数零点分布与 的关系,但是为了更加直接地与素数分布联系起来,我们希望得到一个适用于π(x)的渐近公式。现在把(8)代入到(1)中,我们就能得到最终结论:

特别地,当黎曼猜想成立的时候,(8)和(9)就可以变成这样:

参考

  1. ^带余项的Perron公式 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/355438064
  2. ^抽屉原理的妙用——Dirichlet逼近定理和Zeta函数的零点间距 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/367101494
  3. ^切比雪夫$psi$函数的精确公式(Explicit formula)推导 - 超理论坛 https://chaoli.club/index.php/6308
  4. ^读懂黎曼猜想(3)——平凡零点、非平凡零点与黎曼猜想 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/159602913
  5. ^《读懂黎曼猜想》支线(4)——卷绕数、幅角原理和拉格朗日展开 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/313001616
  6. ^读懂黎曼猜想(6)——非平凡零点的分布 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/163513405



  

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