给定正整数 n，将 1 拆分为 n 个互不相同的单位分数之和，不计次序，有几种拆法？ 第1页

设 严格递增，由题意需解正整数方程：

其中

我们将满足题意的解的个数记为

由 不等式：

等价于

解得 当 时.

而对于更一般的正有理数 拆分为单位分数（解的个数为 ），有

同理满足不等式

解得

另外还有一个虽然平凡但是很重要的限制：

其中 . 特别地，当 时，

命题 1. 是唯一分解，即

证明：当 时，由 可得 ，于是

再次利用 ，此时 ，于是可知

于是

是唯一分解.

我们证明一个一般性的结论，即——

命题 2.

证明：设

.

于是由 可得

所以满足条件的 取值可能有限，且

该定理给出了一个粗糙的方法. 借用如下方法可以更快地寻找分解.

（法二）：

由韦达定理，可知 与 是如下二次方程的正整数根：

于是判别式必须时一个完全平方数，即

将之视为一个关于 的二次方程，则由于 ，于是该新的二次方程的判别式依然是一个完全平方数，即

这是一个平方和的形式，则由勾股方程的整数通解公式：

• 对于第一种情况，

而且由于 和 同奇同偶，于是两者只能都是偶数.

• 对于第二种情况有 ，于是 以及 的取值有限，且两者同奇偶.

综上， 取值种类有限，故而 亦有限. 代回原方程 ：

然后收集 的所有可能，从而解出满足题意的 .

然而 并不是有界的，例如对于有理数

显然

命题3.

证明：归纳法. 当 时，即为命题 2.

归纳假设：若当 时， . 则

这是因为由归纳假设可知每一项求和有限，且 的选择范围有限，于是整个求和有限.