回答是肯定的,对任何一个群 ,这就是所谓的Eilenberg-MacLane空间 ,即基本群为 且拥有可缩的泛覆盖空间的拓扑空间,具体构造如下(下图来自于Allen Hatcher的代数拓扑)。
在高维的情况也可以通过这种粘贴胞腔的方法构造类似的结果,由于高阶同伦群都交换,事实上对于任何一个交换群 和正整数 ,都存在拓扑空间 使得其 为 而其他阶同伦群都平凡,构造方法也是通过粘胞腔,这里不赘述了,感兴趣的话可以去看Hatcher的Section 4.2。顺便若给出一串 使得 时 都是交换群,那样就可以有 的第 个同伦群为 。
再说一些额外的,对每个CW复形,我们都可以用上面的手法造出一个和它每阶同伦群都一样的东西,但是有个问题是这二者并不一定真的有相同的伦型,不过我们可以稍作修改,现在每一层直接乘上去都相当于做平凡的fibration,如果将其每一步都"twist"一下后就可以得到所谓的Postnikov Approximation了,感兴趣的话也可以看看。