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运用复数证明平面几何的原理有哪些? 第1页

  

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顺手一答。如果学过复变函数中保形映射的部分(尤其是分式线性变换),那么就可以与平面几何发生联系。比如著名的托勒密定理,如果 顺次共圆,那么 。为了证明这个定理,假设这四个点都在复平面上并且点 在原点,那么分式线性变换 会把圆映成直线(这是因为圆过原点,所以image过 ,而只有直线才可以过 )。根据保形映射的保角性不难得知映射以后四个点 仍然是依次共线的。而直线上的距离关系 是显然的。经过计算就知道它等价于 ,就得证了。竞赛生一般会把上述操作称为反演,他们对这些技巧已经相当熟练了。




  

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