怎么证明 n 维表面积公式是 n 维球体公式关于半径 r 的微商？ 第1页
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利用对变上限积分求导的公式。
对于一个半径为 的球体，我们可以这样得到体积的分解：从球心出发，构造一个个同心球面，它们对应的半径是 ，每个球面的表面积 乘以一定厚度 就是空心球壳的体积，将所有这样的球壳累加起来就得到球的体积 ，也即是
于是我们对上式两边同时求导：
证明全程没有提及维数的事情，事实上对于高维也是成立的.
此证明成立是基于一点几何直观（前文加粗黑体的句子）。这个几何直观是正确的，对于一般的 流形而言，根据 引理的推论，测地球（ ）的表面，与径向的测地线正交。参见 的书。
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