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如何证明多项式 f(x)=1+x+x²/2!+x³/3!+…+x^n/n! 只有一个实数根? 第1页

  

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今将证明:

方程 至多有 个实根。

为此,置 再置 由于 所以方程 与 同解,这就只需要研究后者。注意到 以下依 的奇偶性分别讨论之:

  • 当 为偶数时,除外, 这表明 严格递减;同时,不难求得 由此, 无实根。
  • 当 为奇数时,除外, 这表明 在 上严格递增,在 上严格递减。此外,注意到 以及 所以 在 上有且仅有 个实根。

综上两方面,即证。




  

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