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无穷等于无穷吗? 第1页

  

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很有意义的问题,事实证明,∞≠∞

这可以追溯到1874年德国数学家奥格尔·康托尔的发现,也就是集合论。

复杂的我也说不清,但我可以搬运结论。

假设所有自然数是一个集合,在0到1中间的所有实数又是一个集合,很明显,这两个集合都有无穷多个元素。

然后原证明用的是著名的“康托尔对角线证明”,笔者语言表达能力有限,很难用敲字把它解释清楚,不过我想了一个可能不那么严谨但类似的方法。

现在,我们把两个集合中的元素随机一一对应。

比如,自然数集中1对应0到1实数集中的0.5,2对应0.51,3对0.511,4对0.5111,这样一直下去,随着自然数不断变大,0.5后面的1也无限增多,一一对应。

然后有意思的事情就来了,0.6对应谁?

随着0.5后面的1无限增多,哪怕自然数有无限个也会被不断对应,永远没有自然数去对应0.6。

那么,我们发现,虽然两个集合的元素个数都是∞,但貌似0到1实数那个集合的无穷是大于自然数那个无穷的。

听上去很荒谬,但事实如此,∞≠∞被证出来了。

这在当时引发了数学危机,引出了集合论,希尔伯特学派,再到哥尔德不完备性定理,到图灵机和图灵完备,到计算机的发明...

很多事情就是这样,要不断思考。




  

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