百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



零测集的子集是否可测? 第1页

  

user avatar   zhou-hao-cheng-30 网友的相关建议: 
      

如果你说的测度空间是 (这里 为Lebesgue测度, 为所有Lebesgue可测集组成的集合,即实变函数讨论的情形)的话,我们有:如果一个集合的Lebesgue外测度 ,那么 为Lebesgue可测的。

证明:

由外测度定义, ,其中 为所有包含 的开集。

则 为开集,包含 ,且 。

由外测度的单调性, 且

即总是存在一个开集 包含了 且使得 的外测度充分小。由定义, 为Lebesgue可测的。



但是对于一般的测度空间,这个命题不一定成立。

我们可以举出反例:

在 上(这里 为Lebesgue测度, 为实数域上的Borel域),考虑Borel域的大小。由于Borel集可以看成是 生成的 域,故Borel域和实数域是一样大的。但是考虑Cantor集,其为一个零测集且为不可数集。故所有Cantor集的子集为零测集从而为Lebesgue可测集,但是Cantor集共有 个子集。故必定存在一个Cantor集的子集 ,其不为Borel集。那么 就是一个非Borel可测的Lebesgue可测集,且在 上,有 成立,其外测度为 。


事实上,一个测度空间被称为是完全的当且仅当任意可测的零测集的子集都是可测集。实变函数中有上述结论的本质原因是 是个完全测度空间(Caratheodory定理)而 并非完全测度空间。事实上, 揭示了这两个集合系之间的关联。


user avatar   lljpcz 网友的相关建议: 
      

关于把一个零测集的子集可能不可测的测度函数扩张为每个零测集的子集都可测的测度函数的技术可以参考以下链接:



(真够拗口的啊,这个是实变荣誉课提到的定理,在知乎上随便找了一个联接)




  

相关话题

  如何理解有限单群分类定理? 
  穷人里出来的学霸和富人里出来的学霸有什么相同点和不同点? 
  比三大,比四小的整数是存在的吗? 
  如何用数学的方法说明极限理论的表现力强于初等数学? 
  除和除以到底为什么不一样? 
  这个极限正确答案应该是e的1/3次方,这样计算的结果却是e的-1/3次方,请问有什么问题吗? 
  第4题怎么做,我发现什么了? 
  一个空间中勾股定理不存在,而变成了 c^4=a^4+b^4,甚至有更高的指数,那么这是一种什么空间? 
  什么样的初等函数的不定积分不能用初等函数表示? 
  高考刚结束,有志于学习基础数学,假期想要自学一些大学数学内容,可以使用哪些书籍和习题? 

前一个讨论
什么是半微分(semi-differential)?有什么几何意义吗?
下一个讨论
在集合的势的意义下,是否存在比实数集更大的全序集?





© 2024-11-24 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2024-11-24 - tinynew.org. 保留所有权利