为什么n维欧式空间中的单位球面（n-1 sphere）的表面积和体积，在 n 趋于 ∞ 时，都趋于0？ 第1页

首先定义一个概念：n维维度积

1维维度积是长度

2维维度积是面积

3维维度积是体积

4维的维度积是什么？

随着维度的增加，每添加一个维度，都会产生一种新的概念：n维维度积。

n维空间中的生物的度量衡有n种，因为有n种维度积。

我们生活在3维空间，度量衡有长度，面积，体积。

0维空间只有一个点，它没有维度积，因为它只有一个点，什么也没有，像宇宙大爆炸之前的状态。

1维空间的组成元素是线，它的度量方式是长度。

2维空间的组成元素是面，它的度量方式是面积。

3维空间的组成元素是体，它的度量方式是体积。

不妨给4维，5维空间起个名字：点，线，面，体，山，海，天

4维的维度积叫山积，5维的维度积叫海积，6维的维度积叫天积

现在我们讨论的是单位球，4维单位球的“表面积”其实是3维积（体积），正如3维球体的表面积是2维积（面积）一样。

所以，不同维度的单位球的维度积完全是没有可比性的，因为它们的单位不一样。如果硬要比较，那就犹如在拿二维单位球（圆）的周长跟三维单位球的表面积进行比较。

给定一个n维单位球，它只有n维维度积和n-1维维度积两个属性。圆有面积和周长两个属性，球有体积和面积两个属性，但是三维球却没有1维维度积属性，因为球没有周长。

所以，这个问题应该这么描述：为什么n维空间单位球的（n-1）维积在n=7的时候达到极大，最后随着n增大变得很小？

其实这个问题，把单位球的n-1维积改成n维积也有同样的现象，体积在n=5的时候达到极大。

为什么单位球的维度积有极大值这种现象而非单调的？

从公式上解释：n维球体的n维积公式为：

n维球体的n-1维积其实就是n*f(n)。n维球对n维积求导就得到n-1维积。

观察n维球的n维维度积可以发现，n维球随着n增大，每次大概乘以2pi，却要除以n，所以在2pi附近就会出现极值。偶维球n维积最大时n=5,奇维球n维积最大时n=6，5维大于六维。而表面积则是在7维达到极值。

从概率上解释：球其实就是进行n次随机实验（每次在-R到R区间上随机采样），得到n个数值，这些数值的平方和小于R平方的概率。当n比较大时，最终的平方和大概率超过R平方，正所谓：“长江尚有回头日，岂可人无得运时”。

在n维边长为2R的正方体中随机选一个点，这个点落在n维球中的概率随着n增大单调减小（并不会出现极值）。n维空间中的正方体有2^n个角落，每个角落的n维积都趋向于R^n，所以f(n)其实是n维球的n维积跟一个角落的比值，这个比值会出现极值。

emmm这为什么反直觉呢？

对于高维空间我们根本毫无直觉可言啊。

而且就算只看三个维度：

考虑用一个有限的n维立方体(假设边长是2)装n维单位球。随着维度升高，也可以明显地看到n维球的测度与n维立方体的测度之比在缩小。n=1是100%；n=2是pi/4≈78.5%；n=3是pi/6≈52.4%。如此速度的衰减，虽然直观上不一定就能说趋于0，但也不至于「反直觉」吧。