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100人坐飞机,第一个乘客在座位中随便选一个坐下,第100人正确坐到自己坐位的概率是? 第1页

  

user avatar   wang-xi-65-12 网友的相关建议: 
      

曾加说他的答案简洁、严谨,那我试着来一个优雅的



我们把这个问题叫做「疯子问题」。疯子问题是指:有 n 位乘客坐飞机,第一位乘客是疯子,会胡乱坐;后边的 n-1 位则按照自己的位置坐,如果被占就再随机选择另一个。求最后一个乘客坐对的概率。其中 n>1 。

我们看看疯子问题是如何转化的:

1.疯子坐对了

问题结束,所有人都可以坐对位置。

2.疯子坐错了,但并没有占据最后一个人的位置

假设疯子坐在了 k 号位置(1<k<n),那么从 2到 k-1 号都可以坐对位置,这个时候 k 号乘客进来了。他看到自己的位置被占了,于是重新选择一个位置就座。

注意!


也就是说,在这种情况下,除了 n 变小了,这个问题依然是一个疯子问题!只是 n 变成了 n-k+1 ,而这个第 k 号乘客就是新的「疯子」;而对于每一个疯子,他坐对的位置都是第一个疯子的那个位置。


3.疯子坐错了,而且坐在了最后一个人的位置上

问题结束,最后一个人不能坐在自己的位置上。


所以,第二个选项是无效的,它只是把问题中的n变小了,实质上等于没有做任何选择;且这个过程要么结束,要么会变成 n=2 的情况,这个情况下没有选项 2。

而只有 1 和 3 两个等概率的选项决定了最终结果,它们的概率分别为二分之一。

因此答案是二分之一。

——————————————————更深入的思考结果

其实这个问题还可以更简单。注意到在中间,如果任何一个随机选座位的人坐到了第一个疯子的位置,那么后边的所有人——当然包括最后一个人——就可以坐对。

因此最后一个人的位置只有两种可能:第一个疯子的,他自己的。


这两个位置又没有什么区别,也就是说在各种情况下都是对称的,所以它们的概率相等。



如果还是有问题,下边这个模型你一定能明白。

考虑一枚硬币,正面向上的概率为 1/n ,反面也是,立起来的概率为 (n-2)/n 。我们规定硬币立起来重新抛,但重新抛时,n会至少减小1。求结果为反面的概率。

这样很显然结果为 1/2 。而「正面向上」对应的是下一个疯子坐最后一个人的座位(选项 I);「反面向上」对应下一个疯子坐对的情况(选项 III );「立起来」则对应坐在中间的情况(选项 II)。




  

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