如果严格根据问题要求,仅通过有限次旋转,那么有如下的反例:
考虑平面上的正三角形 (),将 向 轴负方向移动,同时将 沿 向 移动,使得 旋转一个小角度过程中扫过的区域 (如下图,仅示意, 的轨迹是一条曲线):
由于 是区域 在 方向上的唯一宽度, 中初始角度的正三角形只可能放置在 的初始位置。此时关于任意定点的任意非零角度旋转都会使其超出区域 的范围。
如果将任意转动理解成“连续的刚体变换”,那么答案是肯定的,下面是严格的定义。对于 中的紧集 和凸紧集 ,定义 为所有 ,满足:当 的质心在点 并关于 按 旋转时完全包含在 中。题目的条件即为对任意 , 非空。求证 连通。
证明只需要注意到两点:(1) 是闭集(从而是紧集),因为对于 中任何收敛点列,对应的 保距地收敛到一个 的复制,而 是紧的所以这个复制也在 里;(2) 是凸集(从而是连通的),因为 是凸的,其中两个 的平移复制一定可以沿直线平移过去。剩下的部分就是基础的点集拓扑,留作习题。
以上证明不要求 是凸集,甚至不要求 连通。这也容易理解,因为 的凸包和 在这里是等效的。