数系从有理数扩充为实数的跨越有无产生一些问题？ 第1页
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谢邀。
实数不仅仅是对有理数在代数运算下的完备化，而是在度量空间意义下的完备化，也就是对通常的绝对值取完备化，也就是取柯西列——不好意思严格定义实数要有一点点数学分析的常识，这个问题没你想象的那么简单。而如果对有理数上其他的绝对值——也就是p-adic绝对值取完备化，得到的就是p-adic数 。
而有理数在代数运算下的完备化，就是所谓的代数数，也就是所有有理系数多项式的根——这个按照定义是包括虚的代数数的。代数数再按照通常的绝对值取完备化得到的是复数。题主提到的开方运算封闭的数，都是代数数（的子集）。单靠这些不能给出全部实数，因为还有超越数。
题主想深入学习可以学数学分析、抽象代数（尤其是域扩张和Galois理论）等等，这些都是本科数学标准内容；我没读数学专业以前也有很多类似这样的困惑，后来这些困惑大部分都自然而然解决了。很多时候我们在数学上想不通一个事情，真的就是因为我们学得不够多。
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