一根 1m 长的玻璃棒，摔倒地上断成 3 段，最短一段的平均值是多少？第1页

zengjiaplus 网友的相关建议:

现有的大部分回答，要么用积分，要么用编程，这些都是高等教育中才会学的方法，但本问题其实是初一数学可以解决的。

问题： ，，求 的期望。

解：实际上是由和确定的，变量数为 2，且由于，故有

在直角坐标系中，画出和的曲线

易见，两条直线的交点是 (1/3,1/3)。

并且所有满足条件的 x,y 都在三角形 OBC 中。

所求的 x,y 的期望值即三角形 OBC 的「重心」。

根据「重心」的性质，它在顶点和另一边中点连线的 2/3 处。

D (0,1/4)，C(1/3,1/3) => G (1/9, 5/18)

所以最短一段的平均值是 1/9（次短为 5/18，最长为 11/18）。

当然了对于本问题的一般化（3->m），作图会没有那么直观，用积分算会更加直观。

彩蛋：突然发现，我 6 年前竟然回答过类似的问题。

heng-bu-he-ni-wan-liao-53 网友的相关建议:

给一个比较常规的做法，事实上有

考虑 (为什么？)

这里是因为。

又体积有平移不变性，所以

接下来我们完成计算

yyh-69-78 网友的相关建议:

设最短的长x，中间的长y，最长的长z，由总长1m消去一个自由度，那么在xyz相图中只剩下一个二维区域，再以长短关系对该区域做约束，由于约束都是线性的，所以约束出来是一个2维的锥形，锥顶对应所有段都长1/3，由于n维锥的重心处在高的1/（n+1）处，所以答案是1/9。

把3换成n可易得答案是1/n²。

更新

随手写的东西没想到有人看，那就再尝试从一个角度解释一下这个答案吧，其实从这个过程中可以看出来如果多碎一段，带来的影响就是，最短段的长度每变化一点，这一点向其他几段的分配方式就会多一个维度，维度越高，情况数就会越向最短一段的短处聚集。

ji-yi-hong-59 网友的相关建议:

Mathematica 虽迟但到！

两个断点是符合随机分布的有序分布的，故

                In         [         1         ]         :=                   Expectation         [                             Min         [{         x1         ,                   x2                   -                   x1         ,                   1                   -                   x2         }],                   {         x1         ,                   x2         }                            [         Distributed         ]                               OrderDistribution         [{         UniformDistribution         [],                   2         },                   {         1         ,                   2         }]]                            Out         [         1         ]         =                   1         /         9

wo-shi-shui-78-93-86 网友的相关建议:

看来从数学角度考虑的答主很多了，我来写个物理性更强的。

首先，我们将问题理想化：把玻璃棒看做长L，质量m的均匀杆，它与地面碰撞时以垂直地面的速度v，角速度omega运动，且与地面成θ角度。假设地面光滑，给的冲量垂直地面向上且大小为I。

而我们可以计算出，玻璃棒内部不同位置受的冲量大小是不一样的。

把玻璃棒受的冲量沿垂直杆和平行杆两个方向分解。沿杆冲量的作用效果不是使杆折断，而是拉伸或压缩这个杆；只有垂直杆方向的冲量起着“折断杆”的作用（想像一下掰一根筷子的情景）

而垂直杆方向冲量取极值的位置有且只有一个，这个位置在杆上距离接触点2/3L处。

所以在这个模型中，它最容易摔成L/3和2L/3两段，而不是题中说的三段→_→

（如果认为垂直方向冲量最大的地方最容易断，其实接触点的冲量最大......但这一点没法“摔断”......)

放上计算过程，都是普物力学范围内的推导：

既然对这个问题感兴趣的人挺多，那就再更新一下，换了张更清晰的图展示推导过程，再进行一些极不严谨的讨论。

上面只是显示了玻璃棒在摔落的过程中哪里更容易折断。我们可以看到，杆在不同位置折断的概率一定是不一样的，所以通过纯数学的方式没法做出正确回答。

其次，即便我们知道了应力分布真如上面展示，呈现二次函数分布（在2/3L<λ<L处应力为负，应该理解成它的绝对值，即相反方向的应力），我们也不能简单地假定各处应力正比于在该处折断的概率。

但作为近似（划掉），我们不妨就这么假定。也就是断点概率分布满足：

（上面的概率分布已归一化）

按题目的假设，我们强行让这根玻璃棒再断裂一次（划掉），再假设两次断裂是同时进行的，都满足这样的概率分布（划掉）

我们按这样的概率分布在(0,1)上取两个点，算出最小值的平均：

积分算起来很麻烦，不如直接上程序模拟：

       from math import * import random def f(x):     if 0<=x and x<=2/3:         return (1-9*(x-1/3)**2)     else:         return (9*(x-1/3)**2-1) def valid(x,y):     return y<=f(x) cnt=0 s=0 for i in range(10000000):     x1,y1=random.random(),3*random.random()     x2,y2=random.random(),3*random.random()     if valid(x1,y1) and valid(x2,y2):         s+=min(abs(x1-x2),x1,x2,1-x1,1-x2)         cnt+=1 print("count:{}
minimum average distance:{}".format(cnt,s/cnt))

跑了一次的结果：878092个有效数据点，最短距离的平均值为0.086575

如果解答/代码有问题请私聊我，感谢指正

theo-8-3 网友的相关建议:

之前解答有错误，在此订正一下。直接将暴力写出所有约束条件，使用几何概型概率模型计算。

原问题转为数学问题如下：

求

更一般地：

求

在满足得到任意等概率的条件下(忽略材料因素引起的断裂可能性偏差)，此概率问题可视作几何概型概率问题，求解满足条件区域的体积占比即可。对一般情况，

总概率空间为

该概率空间可进一步转化为以下不等式组决定的维空间：

其中前两个为已知条件，后面个不等式保证每个元素都不小于。

考虑事件 , 此时事件的概率空间由以下不等式组决定，只需把第二个不等式进一步约束为即可。由此事件对应的空间由以下不等式决定：

对于 , 如下图所示。三条直线围成的区域表示。围成的区域表示在最小的情况下，对应的区域。两个区域公共顶点为，其面积比代表了概率。面积比可利用得到。

一般情况下，对应的锥体与的锥体共顶点，锥体体积可由坐标比值得到。具体地，考虑使用对应维度的坐标，其坐标值(对应上图点的横坐标)由以下方程组决定：

容易求得此时的坐标值为 (对应上图的点横坐标)。因此锥体体积比值为： ,

于是有，进而求得概率密度

从而

积分

因此即可得到，即最短的一段平均值为。

valar-morghulis-26-12 网友的相关建议:

数学忘光了，代码跑了下。这里设置长度为1亿，我假设分为三段，参照另一回答的计算方式，第一段随机，第二段取剩余值随机，第三段为总长减去其他两个值。如果每一段一定会有一个值，那么第一次取值范围为1~1亿-2，起码留2个单位给后两次取值，以此类推。随机方法如下

       private long min(long num) {         long a = (long) (Math.random() * (num - 2)) + 1;         long b = (long) (Math.random() * (num - a - 1)) + 1;         long c = num - a - b;         if (a > b) {             a = b;         }         return a > c ? c : a;     }

循环10万次求平均值最后打印结果：

       平均值为：9425171.1227800000 占比为：0.0942517112 分数分母为：10.6098869397

试了很多次都差不多这个数分母为10.6，和前面大佬分析的1/9有些差距，可能是我一定会分成三段的原因，不是数学极限情况，但是感觉差的有点多。

@xxxq 看到了你的回答，确实取值范围三段是不一致的，看了下其他回答的实现逻辑刚也调整跑了下，补一下代码和结果

           private long min(long num) {         //a,b为截断点，取值范围为0~1亿,允许重复         long a = (long) (Math.random() * (num + 1));         long b = (long) (Math.random() * (num + 1));         long c;         if (a > b) {             c = num - a;             a = b > a - b ? a - b : b;         } else {             c = num - b;             a = a > b - a ? b - a : a;         }         return a > c ? c : a;     }  平均值为：11105392.2603500000 平均占比为：0.1110539226 分数分母为：9.0046346546

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