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任给N个连续的整数,是否能从中找到一些数(至少一个),使得它们加起来是N(N+1)/2的倍数? 第1页

  

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若n是奇数,易知连续的n个整数构成n的一个完全剩余系,将这些整数组合一下,可以构成(n+1)/2个被n整除的整数,记为a_i.

记S_k为a_1到a_k的和,若S_k模(n+1)/2均不同余,则必存在S_k被(n+1)/2整除,又因为n与(n+1)/2互质,因此S_k被n(n+1)/2整除. 若存在S_m和S_n模(n+1)/2同余,m>n,则S_m-S_n被(n+1)/2整除,得证.

若n是偶数,分两种情况:1、这n个连续的整数均不被n+1整除,可以两两组合成n/2个被n+1整除的整数. 2、存在其中一个被n+1整除,拿出这个数,剩下的数仍然可以两两组合成n/2-1个被n+1整除的整数.




  

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