根据这个四元四次方程组，计算 λ1 × λ2 × λ3 × λ4 的值。有什么简单方法？ 第1页

注意到 是由 通分得到的，所以有

我们知道，根据韦达定理，有

其中 为关于 次数为 的牛顿初等对称多项式。

因此，对比 、 我们可以得到

且 （这里要注意前面的符号！）

根据牛顿初等对称多项式的定义对 ， 展开就能证明

这便是8元一次方程组 所缺少的4个方程。联立 ， ，容易算出

因此，

一些题外话

以上的方法无疑是给出了此类问题的通用解法，对于更多未知数的情况依然能够套用，可以注意到，上面的方法可以简单地求出任意的牛顿基本对称多项式，同时避免了像 @杨杨 的针对性地、特殊地繁琐构造。（尽管这样是利用了万金油的牛顿对称多项式定理）

牛顿定理：任意关于 的对称多项式都能写成都能表示为牛顿初等对称多项式的代数运算组合。

更进一步，我们如果还要计算对于任意 的

型多项式的值，只需注意到它是生成函数 中 的值，同时，利用柯西乘积公式得到 之后的方程

，由于 的数值已经在之前算出，所以我们可以陆续用递推的方式求出之后 的数值。

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参考

1. ^ S. Ramanujan (1912) Note on a set of simultaneous equations, Journal of the Indian Mathematical Society, VI: 94-96
2. ^ 拉马努金的原论文研究的问题和本文还是有差别的，但是他的思想仍可以保留。