如何证明非零自然数的平方的倒数和为π^2/6? 第1页

巴赛尔问题, 是求在趋于无穷时正整数的平方的倒数和.

即求: .

这个问题有非常多的解法, 但大都属于高等数学范畴内, 我之前的回答也给出了一种在高等数学范围内比较简单的解法.

注意到

所以有

要让等式左右两边相等.

项必须相等

所以

所以

Q.E.D

虽然这种方法比较简单, 但也属于高等数学范畴. 我们能不能试一下在初等数学范畴结果巴赛尔问题呢?

3Blue1Brown的视频给出了一种新的视角解决巴赛尔问题, 那我们一起来讨论一下他的思路吧.

咦, 这里有平方的倒数, 我们想想现实中的公式有哪些是有平方的倒数的.

平方反比定律?

如果任何一个物理定律中，某种物理量的分布或强度，会按照距离源的远近的平方反比而下降，那么这个定律就可以称为是一个平方反比定律

所以如果我们考虑巴赛尔问题的实际意义.

假设这里有一个 同学, 在他的左边, 有很多个 灯泡.

各个灯泡之间的距离为 .

根据平方反比定律, 同学观察到来自 的光的光照强度为 个单位 .

观察到来自 的光照强度为 个单位

观察到来自 的光照强度为 个单位

所以, 考虑这里有无穷个灯泡, 都分布在 的左边, 并且各个灯泡之间的距离为

同学观察到的总光强为各个灯泡到 的光照强度的和, 即

所以, 如果我们能求出 同学观察到的总光照强度, 我们就解决了巴赛尔问题.

同时, 我们也注意到, 在 与 距离相等的时候, 观察到来自 的光照强度是一样的.

同时, 如果以 为中心建立坐标轴, 那么, 观测到的来自 的光强和来自 的总光强是一样的.

( 发光强度相同)

证明也很好证明, 假设 , 观测到的来自 的光强为 ,

,

所以,

所以

现在假设 相距 , 他们处于周长为 的圆的直径两端. 那么这时候, 接受到的光照强度为 .

现在我们用一下刚刚证明的结论, 观察到的来自 的光强总和是一样的, 为

(因为 )

以此类推,

注意: 以该灯泡和其所在圆的"最高点"为连线, 将该灯泡变异到该连线和下一个大圆的两个交点上.

如此一来, 最初的一个灯泡就变异为了 个灯泡, 且这 个灯泡对于 来说观测到的光照强度和最初的一个灯泡是一样的.

另外, 注意看最大的圆的各段弧长, 分别为

我们将这个过程一直进行下去,

最终将得到在一个无穷大的圆上, 有无穷多的灯泡, 且连接灯泡直接的圆弧长度分别为

而, 对于 来说, 他观测到的所以来这这些灯泡的光强和最初灯泡的光强是一样的, 即

而, 无穷大的圆, 到底长什么样呢?

这便是无穷大的圆了, 因为太大, 圆弧变成了一条直线.

所以如果我们按照直线上的光照强度的规律计算光强, 则有

并且

所以

所以

而

所以

所以

所以