该n元不等式如何解？（张端阳的题）? 第1页
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第七题：令 为自然数， 。令
，
得到
。
把 调换位置：
。
两式相加得到
最大值为 ，最小值在 时取到，为 。这样再使用一次绝对值不等式就可以消掉 得到 的下界： 。
然后我们证明 的最小值确实是 。令 ，以及 。则绝对值中的式子就是
。
首先，由Cauchy不等式知道 ，所以 ，等号成立当且仅当 都相等。
另一方面，设 ，其中 。对任意 ， 是 的凸函数，所以 的最大值必定在 时取到。设 中 ，其中 。则
。
注意到 ，所以 ，得到 。
所以 ，即 ，等号可以取到。也就是说 时原式的最小值正是 。
综上， 的最小值是 。
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