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n的正因子个数d(n)有没有上界公式? 第1页

  

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引理:设f为积性函数,且对于所有的素数幂q均有 ,则对于所有的正整数n均有
证明:由极限定义可知对于所有的 存在足够大的Q使得对于所有的q>Q均有 。因此我们可以将n的素数幂因子划分成三个部分:



因此有:

又因为 是有限集,所以我们得到结论

当n为素数幂时,有 ,于是 。结合引理,我们就得到了结论:

对于所有的 均有 。

因子个数函数的对数

为了得到更良好的界,我们考虑正因子个数函数的对数。对此,我们不妨设0<r<n,从而将因子个数函数进行分割:

现在设 ,即得:

现在设 则:

而根据

再根据素数定理 ,我们便得知:

这意味着:




  

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