n的正因子个数d(n)有没有上界公式？ 第1页
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引理：设f为积性函数，且对于所有的素数幂q均有 ，则对于所有的正整数n均有
证明：由极限定义可知对于所有的 存在足够大的Q使得对于所有的q>Q均有 。因此我们可以将n的素数幂因子划分成三个部分：
因此有：
又因为 是有限集，所以我们得到结论
当n为素数幂时，有 ，于是 。结合引理，我们就得到了结论：
对于所有的 均有 。
因子个数函数的对数
为了得到更良好的界，我们考虑正因子个数函数的对数。对此，我们不妨设0<r<n，从而将因子个数函数进行分割：
现在设 ，即得：
现在设 则：
而根据
再根据素数定理 ，我们便得知：
这意味着：
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