如何看待阿里巴巴全球数学竞赛第一轮题目? 第1页

今年预赛题感觉比上一届有意思（可能很多人忘了上一届比赛是18年办的，只是19年颁奖而已。。）。这几个题目都没有涉及到很多预备知识，应该说要做出题目，想法比知识储备更重要。而且题目出得都比较有意思，不是那种标准的课后习题（18年预赛的纯数题感觉大部分就是标准习题），需要动一动脑子，想明白其实不难。比如第三题，多项式环上的多项式方程的整函数解，一眼看去又是抽代又是复变，如果只会死抠知识点只会做课本上的标准例题，脑子转不过弯来，那恐怕应付这种新形式的题目就不太容易。

说一下题目吧。具体题目内容就不写了，其他答主也贴了。第一题说是出错了，其实我做的时候不知道为什么他们说出错了。。最开始是聂神在去年大师班的群里说有题目错了，我还不知道他说的是第一题。后来组委会的人反映给命题人，看到那封邮件，但还是没想明白。今天早上群里讨论的时候，才意识到，错的点在于：扭奇数圈的带子，剪开来以后，是一个非平凡的纽结。所以和直接扭n圈的带子是不一样的。不过这题目问的也比较模糊，你也可以说不考虑纽结的因素，看个人对题目的理解了。

第二题，我拿纯组合的方法证的。。我证明了那个矩阵在重排行和列以后可以写成这样的标准型：第一行全是1；第二行是前面n/2个1，后面n/2个-1；第三行是n/4个正负1交替出现；一直到第m+1行是1,-1,1,-1..交替出现。（n=2^m）然后后面的行就是第2行到第m行任取有限多个做*得到的结果。这样就恰好能构造出全部2^m行——对应到{2,...,m+1}的全体子集个数。然后第三问就验证那个张量积满足题设条件，因为标准型是唯一的，所以间接证明了张量积也重排等价于标准型。后来我看群里讨论，有说用F_2上线性空间做的，其他答主也有用线性代数做的。所以这个题目也体现了我第一段所描述的特点：不需要多少预备知识，想法才是重要的。像我这种显然学过抽代但是对代数不熟不知道怎么套用的人，也可以通过初等方法暴力枚举出每一行来解决问题。。

第三题，稍微说一下题干吧。 。h是一个多项式，y是z的函数。要求这个关于y的多项式方程，有3个互不相同的整函数解。问h可以取哪些多项式？

首先观察到y自己是多项式（因为他是整函数但同时也是多项式增长），接下来要说明y是一次多项式。这部分我折腾了好久，直到昨天晚上才想出来。。设其中两个解为y=f1, y=f2. 由韦达定理： 我把它看成关于f2的二次方程，那么这个方程的判别式必须是完全平方，才能保证f2是个整函数。想明白了这一点，证明f1,f2是一次多项式就显然了。

第四题有3个小题。第1小题算是个简单的组合问题。每列最多2个，所以理论上最多能种8棵数。但是简单分类讨论一下就知道，每列都种2棵，肯定会有斜着的3棵数。所以最多7棵。种7棵的种法应该是20种。通过枚举+上下对称+左右对称数出来的。不确定有没有更简单直接的方法。

第2小题就是贝叶斯公式算一下条件概率。

第3小题，经过群里的讨论之后，我意识到我几乎完全做错了。。我求那个积分的极大值的时候，直接拆成两项然后用的柯西不等式。。但应该是取不到不等式右端给出的上界的。所以后面的计算过程都没意义了。没学过优化啊。18年预赛也是卡在了应数题目上。我突然想到，会不会第一轮出3个纯数题，1个应数题；第二轮就反过来。。如果这样的话第二轮预赛对我来说会非常痛苦。。

第四题最后一问有参考文献：

Yanai, Hiroshi ，A Min Max solution of an inventory problem. Proc. Fac. Engrg. Keio Univ. 12 (1959), 114–119.

方法基本上是用和这个分段函数相切的二次函数来给出上界。