为什么方差要定义成平方？这么定义有什么利弊？如果把方差定义成 |X－E(X)|，这又有什么利弊？ 第1页

确实存在 。这就是平均的离差，简称平均差。这个当然可以用，只是编程计算起来不方便，必须老老实实地计算出每一个数字与平均数的差值，再取平均数。没有其它简便的算法。

为了能更简便计算，有人试图用平方来代替绝对值，也就是 。这么做的好处就是可以化简成 。这个算法比较便于编程。这就是平方的离差，简称方差。

其实之前的答案已经很不错了，我们把这个问题讲的再通俗易懂一点，先抖个机灵，方差之所以是平方是因为它叫做“方”差，如果是绝对值可能就叫做“绝对值”差了，如果是三次方可能就叫做“三次差”。实际上在统计上三阶矩之类也有一定作用。但我要是这么回答你们一定会打我……

这个定义可以最早追溯到勾股定理：

通过这个公式，我们可以知道直角坐标系当中的任意两个点的距离都可以表示为：

这个距离的定义就叫做欧式距离，它有很多我们熟悉的性质，比如说它虽然定义在某个直角坐标系下面，但是是坐标系无关的，认取三个（或更多）互相垂直的方向重新定义一组直角坐标系，欧氏距离不变。

我们后来知道了它不仅仅是距离，还跟内积空间有密切的联系：

也就是距离的平方，是向量和自己内积的结果。

在任意一个内积空间当中，都可以通过正交化的方法找到一组正交的基底，通过这个基底表示的向量的内积和距离运算可以使用欧氏距离公式。内积空间对于旋转（或者说正交变换）是很友好的，旋转不会影响距离和内积，这跟前面说的与坐标系无关是一个意思。

那么我们已经知道了欧氏距离是我们最常用、最自然、性质也最好的距离定义（没有之一），这跟方差有什么联系呢？

对于一个随机变量X，我们把n次独立重复实验的结果写成一个向量，这个向量是线性空间中的一个向量，或者说是一个点，这个点在基准附近，由于各次实验独立同分布的特性，大致分布成一个球形（注意并不是严格的球形，只是对各个维度对称）。我们要衡量它与基准值之间的距离，最简单也是我们最习惯的方法自然是计算欧氏距离：

距离越远，就说明随机变量X越容易偏离期望值，否则越不容易偏离。

这个距离跟独立重复实验的次数n有关系，我们只想知道跟X有关而跟n无关的特性，于是把跟n有关的系数约掉：

这个公式就是统计当中常说的标准差，代表样本偏离标准值的距离。把这个值平方可以去掉那个讨厌的根号，于是得到了方差：

考虑到这个式子是一个求平均值的形式，我们增加独立重复实验的次数，最终取平均值可以用期望来替代：

这个就是概率论当中定义的方差了。可见：

方差是样本到期望值的欧氏距离的平方。

理解这个定义的要点主要是这几点：

1. 随机变量的性质可以用独立重复实验的结果来描述
2. 独立重复实验可以描述成多维线性空间中的一个点
3. 变量随机波动的程度，可以用独立重复实验结果到基准值，在线性空间中的欧式距离来描述
   

如果我们不使用欧氏距离，而是使用其他阶的距离定义，也不是不可以，但显然没有欧氏距离来得直观，而且欧氏距离最大的好处是非常适合使用线性代数工具，线性代数工具比如矩阵是现代概率论研究的关键，那么自然没有什么理由不使用欧氏距离了。

另一方面正如其他答案所说，由于使用欧式距离，我们可以将样本转化为一个内积空间。大部分情况下，我们希望度量随机变量变化的程度，所以我们定义一个移除了期望值的内积：

这个内积叫做协方差，而随机变量和自己的内积就是方差。这样就有了度量两个随机变量相关性的能力。对于多维随机变量来说，我们就可以定义每一维自己的方差，和到其他维度的协方差，于是将多维随机变量的方差描述为协方差矩阵：

这是一维随机变量的一个很简单的推广。不过这个应该算是某种附加价值吧。

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感谢

的提醒，修正了部分内容。