如何理论计算多米诺骨牌推进速度？ 第1页

很容易想到这其实是个变速运动，那么我们就想了：推进的路程 随时间 的函数关系是什么呢？

将每一个骨牌视作高为 质量为 的均匀光滑细杆（厚度宽度忽略不计），以光滑铰链连接于地面（防止相对滑动），所有的杆初始时垂直于地面且沿直线排列等距排列。相邻细杆距离为 ，且 （用于小角近似）。杆之间的碰撞是非弹性的。杆与杆之间只有碰撞的瞬间有作用力，其余时候没有作用力。

设杆在下落过程中与竖直方向的夹角为 ，由几何关系可知当 时会与下一根杆碰撞。由于 ，故在杆从开始下落到撞上下一根杆的过程中可作小角近似 。

假设第 根杆下落时的初角速度为 ，接下来我们计算 。

对下落过程中的杆的运动建立方程。下落过程中只有重力矩的作用，其力矩大小为

。

根据刚体力学，杆的转动惯量为 。由此可列得微分方程

，

即

，

其中 。

这是一个二阶常系数线性微分方程，其通解为

（这里使用双曲函数是为了后面两步方便）。

根据初始条件 ， ，可得

，

。

因此

。

现在研究杆刚碰撞前的状态。

当 时，有

，

，

其中 。

第 根杆与第 根杆碰撞的瞬间，弹力的方向是水平的，因此弹力对两根杆的力矩的大小是相同的，因此前一根杆减少的角动量的大小等于后一根杆增加的角动量的大小。列出方程

。

又因为碰撞是非弹性的，碰撞后前一根杆的尖端的速度在水平方向上的分量等于后一根杆在受到碰撞的地方的线速度。列出方程

，

即 。

因此

，

则

。

据此列出 个式子：

，

，

，

，

。

将它们连加，可得

，

化简得

。

其中 ， 。

设第 根杆从开始下落到碰撞到下一根杆需要的时间为 ，骨牌的“推进速度”

。

根据先前的结论，有

所以

。

令 （物理意义是总共行进的路程）， ，可以列出 关于 的函数关系：

，

其中 。

于是可以将离散的数列变为一个连续的函数。可以将 写作 ，然后分离变量得

。

发现这题最终归结于求不定积分 了。

这个积分呢，算是能算的，只是结果有点长。如果题主增加题目条件，让最先倒下的骨牌是因极微小的扰动而倒下的（楼上那位答主直接将这个条件作为“显然”），即 ，那么此时 ，答案可以稍稍简化一点，但仍然很长。想知道积分结果的可以去Integral calculator上算一下（Mathematica是算不出来的，别试了）。

把所有换元代回来，保留积分号，得到的运动方程是

。

当 时 的极限是存在的：

，

其中 。

更新一下。

确实， 了还假装后面的杆对前面的杆没有力的作用太反常识了。因此我宁愿不要这个小角近似。毕竟后面的杆对前面的杆近似没有力的作用的条件是 只略小于 。

之前我们得出过微分方程

，

即

。

虽然这是个非线性的微分方程，但是其实不难解。利用

，

可以将原方程转化为

。

分离变量并积分，得

。

因为当 时 ，所以 。于是

（1式）。

由此可知当 时 为 ，其中

。

接下来的推导与分割线之前完全一样，得到

。

其中 ， 。

另一方面，对1式分离变量并积分得

，

其中 是第一类不完全椭圆积分。

于是我们得到杆开始倒下到撞到下一根杆需要的时间为

。

骨牌的当前推进速度为

。

由此可得微分方程

，

其中 。

分离变量并积分得

。

好了我就算到这，积分你们自个儿去算吧！

当 时 的极限是存在的：

。

我数值计算了一下， ， 算出来 。