如何证明闭开区间无最大值(如反证法)？ 第1页

我们这样定义 ，要求它满足以下的公理：

其上定义了一个映射： ，要求：

1、元素 存在，且 ，

2、对于任何元素 ，元素 存在，它满足

3、运算 满足结合律，即 ，

4、 ，

其上定义了一个映射：

· ，要求：

1、元素 存在，且 ，有

2、 ，元素 存在，它满足

3、运算·满足结合律，即 中任何元素 , , 满足

4、 ，

中元素存在关系 ，满足以下条件：

1、

2、

3、

4、

如果 和 是 中非空子集，并且对于任何元素 ， 有 ，那么就会存在 s.t. 对于任何元素 ， 有

满足以下一些联系性质的条件：

1、 乘法相对于加法满足分配律，也即 ，

2、

3、

我们定义 ，若 ；并且允许把 写成 。

同时定义

；

额外地，我们可以把 写成 。

接着，我们可以证出以下定理：

当 时，方程 在 中有唯一解

，以下关系中恰好只有一个关系会成立：

， ，

1、

2、

3、

1、

2、

3、

【 我们定义：设 ，如果对于任何元素 都有 ，那么我们就说元素 是集合 的最大值。】

基于这些定理和最大值的定义，我们就可以证明

和 两者都是没有最大值的。

先证 没有最大值。

基于我们平常的认知，想要证明 没有最大值，其实就相当于要证明： 有 。

·我们先证

我们由定理 和定理 可以证出 ，然后可以由定理 证出

而这里要给出一个小证明，证明 。这是因为：我们可以知道 ，而且 ，那么由解的唯一性就可以得出： 。

因此我们就得到

由于 ，使用定理 则可以知道

再使用定理 ，则可以得到

又再用定理 ，可以得到

所以一小部分就证明出来了，下面证另一个小部分

·

·证

由于已知 且 ，所以由定理 则可知 。再由定理 则知 ，而且也已有 ，所以根据定理 则有 ，再使用定理 则可以得到：

·

从而我们总体上证明了 ，有 和 ，从而相当于证明了： 有 。这说明当我们假设 是 的最大值时，我们总可以找到 中的一个数 ，它是大于 的。这与最大值的定义是矛盾的，所以我们说 不会有最大值。

接着要证明 没有最大值。

我们假设 是 的最大值。我们很容易知道，基于定理 和定理 ，可以得出 。然后使用定理 则知 ，因此 。

这样的话，我们又在 中找到了一个大于 的数，因此肯定也是矛盾的，所以 不会有最大值。

综上，则知，形如 和 这样的区间，一定是没有最大值的。