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广义反函数的定义及该定义的相关说明(问题描述)? 第1页

  

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谢邀。


一说起反函数,我们最先要问的问题,也是最核心的问题:它真的存在吗?

反函数存在条件是苛刻的,要求原来的函数必须是单射才可以,也就是说,

对于象集 Y 当中的每个元素 y,原象集 F⁻¹(y) 都是单点集。


对于一般函数来说,F⁻¹(y)通常不是单点集(甚至是可列集),但是(不妨骚操作一下)如果我们将F⁻¹(y)中的元素“捏”成一个点(商拓扑),它就成单点集了,于是就符合反函数存在的条件了。怎么捏呢?嗯,取下确界吧,任一个原象集 F⁻¹(y) 肯定都存在下确界。


y = sin x 在 [ 0, π ] ,很显然不存在通常意义下的反函数。因为

∀y∈(0,1), F⁻¹(y) 是两点集{x₁,x₂},如下图

那我们只要较小的 x₁ 就可以了。

最后,我们不妨把条件放得更宽一些:

F⁻¹(y)=F⁻¹(y=f(x)) —>F⁻¹( y<F(x) ) ,借用上例,我们会发现x₁= inf { x : y<F(x) }

如果F是可测函数,那后者就是可测集,更方便论证了。


现在再看下式,相信就很清楚了。

F*(y) = inf { x : y<F(x) }




  

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