数学的本质是什么？ 第1页

数学是，结构（存在数量）和关系（存在变化） 的描述，以及验证（结构和关系) 的方法和过程。

至于逻辑，更像是结构和关系所固有特点，而抽象是寻找结构和关系过程的手段。所以，数学通过抽象的方法，剥离去除一切无意义的具体，只留下单纯的结构和关系，并探索其中的逻辑。

那么，在很久很久以前，数学最初是起源于生活的具体的，那时候还不叫数学，只是一种简单的计数系统。比如，自然数就是映射具体的，但从有理数开始就脱离了现实，变成了人为的创造与抽象。而如今，数学发展到现在，已经完全变成了纯思维的活动，完全脱离了现实，可以说这体现了人类抽象思维和推理能力的进化——也就是智能的进化。

数学试图去发现所有的结构和关系，这是一种描述行为。所以，数学可以说是一种描述物质的物质，就像是一种元数据和元语言——描述的就是物质结构和关系所固有的逻辑。

事实上，基因并不会衰老，基因只是一串排列组合的信息，相反存在越久远的基因越会存在更长的时间。衰老的是上层结构，基因代表的是信息，描述了上层结构，结构复制结构就会把基因传递下去。而结构的复制错误就是衰老的原因，并且会反作用于基因。有趣的是，基因指导了结构的复制，这是基因的生存之道。基因就像是数学，描述了结构的规律。而基因本身则是更基本结构的排列组合——是数据存储了信息。

结构和数据

结构和数据之间存在一种可以互相转化的关系，数据是传递信息的结构，而结构可以吸收数据所传递的信息，形成新的结构，从而不断的变化。

而思维，正是数据在（脑神经元网络）结构中流动、吸收、重组、以及随机自由组合过程的产物。人们以为自己的想法，源于自身大脑独立的产生。但其实，任何想法思维都需要数据的参与和构成，而数据是来自外部环境的。可见，所有的想法都只是环境信息的表达而已，而数学作为思维的产物，所做的所有探索和发现，以及严谨的推理论证，都只是环境信息结构和关系的呈现。

那么，有一种观点，认为数学只是由一堆公理和定义推理演绎出来的结论，并且公理（这是游戏系统的根基）选择具有任意性，只要没有矛盾，就可以任凭数学家的自由意志随意创造。

这就相当于把数学架空到一个虚拟的游戏世界，沉浸式的体验，只要合理逻辑自洽，就可以让人无法分辨虚拟与现实的区别。那么，数学家的自由意志——随机又虚幻，这似乎是对追求、目的和意义的全盘否定。

然而，无论是谁的自由意志，其产生原因的背后都需要数据，因为无论是结构化知识的积累，还是灵感直觉的探索，亦或是进行逻辑推理与归纳，都无法脱离数据独立完成。

而数据最终都是来自于环境信息的，那么数学家，就像一个过滤器，不断地从环境信息中观察和总结，并通过逻辑性的推理演绎，提取出数据中内在结构和关系，最后使用数学语言，对这个过程和结果进行描述和表达。

那么，数学家在直觉指引下的构造性思维，其实就是数学动力的真正源泉。数学家的构造性直觉，给数学带来了一个非演绎且非理性的要素，这是可以和音乐与艺术相比拟的。

结构、关系与信息

关系是与结构绑定的不可分割的，是对结构从某个视角观察的结果，并且这个角度看到的是可以被观察者所理解和可感知的。这里的可感知，即是可以被人体的感觉系统（如视觉、听觉、触觉等）所处理的。

那么就肯定会存在，有些（甚至是大部分）结构的排列组合，所呈现出来的关系，是无法被理解和可感知的。而从不同的角度去观察相同的结构，也会得到不同的关系。

那我们如何去表达、描述、甚至是传递这个关系呢？这就是信息。所以，信息描述了关系，就是描述了结构，在观察者看来结构是什么，自然就是信息的排列组合，这其实就是在描述结构——通过关系来描述结构。

而信息的载体也是一种结构，那么也就可以被其它信息所描述，所以信息是一种描述性结构。就像一段文字数据，传递了信息，这个信息描述的可能是另外一个结构（事物），而对这段文字的翻译或是解释，就是描述信息的信息，同样也是一个结构。

可见，数据本身的结构，所呈现的关系也是信息，并且从不同的角度去解析数据，就会看到不同的关系，从而得到不同的信息。而数据这个结构的主要功能就是传递信息，其载体和形式并不重要，重要的是其组成结构的排列组合，所形成的关系，即信息。

所以，传递信息就是在传递结构，而结构可以吸收信息，其实就是在吸收结构，从而可以形成新的结构，传递出新的信息。 ​​​​

结构、信息与比特

那么关于结构和信息，其实还有着更为深层次的联系。不可再分最基本的物质是什么？重点是不可再分，不考虑物理的限制，不要在乎物质的属性，无限小的是什么？那就是比特，就是信息量的基本单位，代表着最小信息。因为物质是由更小的物质多构成，最小的物质，拥有最小的结构，最小的结构对应的就是最小信息。

事实上，物质的属性，是由构成物质结构的数量和排列组合所决定的，但这个属性需要通过结构所传递的信息来感知。物质由宏观到微观的变化过程，就是构成物质结构不断减少，信息不断丢失的过程。物质不断的分割到粒子层面，再不断的分割，就会不断丢失结构和信息，就会不断丢失特性。到一定程度就难以测量——变成概率。那么，如果再继续分割（不考虑实际技术工具的限制），最后只有一个基本结构，对应了一个比特结构，此时只有一个属性，要么是0，要么是1，成为了概率。

另外，我们可以把信息理解为，人类可以理解的关系。那么显然，有结构就会有关系，而基本信息比特，就是描述了基本结构的关系——就是随机的0或1。所以，比特描述的关系，就是基本结构自身的变化（自身与自身的关系），是一种无法被理解的关系，相当于没有信息，也没有可观测的结构。

而如果基本结构没有变化，比特描述的关系就是全0或全1，这就是所有一切的开始与结束，代表着宇宙的起点（比特全0）与终点（比特全1）。

结构、数据与信息

从前面的论述可知，结构与数据可以互相转化，关系是从结构或是数据中，提取的信息。信息表达、描述、传递了结构和数据中的关系，代表着人类可以理解的关系。

显然，结构和数据中，存在着冗余信息和无效信息——也就是信息噪音，并且这些信息噪音并不能计入信息量。

不过，信息噪音是一个相对的概念，因为不同的人拥有不同的信息积累，那么同样的信息噪音对不同的人，就可能会有着相对的信息量。就像相同的数据，在有些人看来全是噪音——没有任何未知的信息，但对另一些人来说——却可能全是未知的信息。

而有时，数据拥有未知信息——也就是有信息量，但这些信息“没有用处”——就是包含有一定比例的错误，或是知道与不知道并没有什么影响，那么我们也可以认为，这些有信息量的未知信息——也是信息噪音。

由此可见，对于结构或是数据，其中有没有信息、以及有多少信息，这依赖于已有的结构——也就是信息积累，能不能够识别和处理，这些传递的结构和数据。

那么显然，我们大脑的神经网络结构，就是已有的信息积累——代表着一个人所拥有的知识，而人类所创造的一切，就是人类文明的信息积累——代表着人类物种所拥有的知识。那么，这些信息积累，就决定了我们对未知结构和数据的识别与处理，即代表着我们对未知的探索和对自身的改进。

数学的本质

如果说一切都是结构，那么一切就都是信息，信息的最小结构又是比特，而比特的状态是概率（0或1的出现概率随机），可见信息和概率是密不可分的。真正的概率来自于微观，而信息构建的物质在宏观，是概率连接了宏观与微观。来到比特层面，所有的属性都丢失了，这是抽象的极限。

所以在极限处，数学和一切都建立起了联系。

数学连接了心灵感知的抽象与真实的世界，一直以来人们都把思想和感受称之为非现实的虚幻。可是，如果认可了万物皆比特的信息观，那么数学就成为了，从微观到宏观凭借结构与关系，构建的通道。

而这就是为什么数学是研究结构和关系的，但碰巧数学又可以对一切事物有所应用和描述的原因所在。

曾经，人们觉得坚硬的物质现实，是不以人类的思想和意志（的脑电波）所直接控制和改变的——除非有超能力。但如果万物皆比特，那么人的思想和意识活动，其实就是和物质现实，无差别的信息数据的排列组合和运作，而信息总是互相关联和互相影响的——或许这就是“念念不忘，必有回响”的本质原因。

一个有趣的看待数学的视角

如果把大脑比作一台（量子）计算机，大脑的生理结构是硬件，思维活动是软件，那么数学可以看成是一种算法，运行在大脑这个虚拟机之上。

这个算法可以使用存储在大脑神经网络中的结构和关系，可以自动定理证明的过程（寻找更多的结构和关系），还能够自我学习归纳总结和逻辑推理。并且这个算法是随机运行的，可以无限的从环境中筛选出经过排列组合的信息。

这个算法在人脑中，就是自我意识、学习总结、逻辑推理的源泉，这就是数学——连接了心灵感知的抽象和真实的世界。

同时，这也体现了一个观点，数学的发展是随机的对环境信息不断过滤和筛选的结果。这里的随机是指没有目的和没有终极目标，充满猜想以后验证猜想的过程。这样基础结论就会越来越多，能推导的结论就更多，没有尽头和上限。而这或许就代表了上层（宇宙）环境的信息无限。

而事实上，正是数学的随机猜想与发展，所带来的无限多的、随机组合出的结果与结论——这些其实都是数据，支撑了上层结构的迭代与构建，提供了上层发展所需要的信息与工具。

更多探讨参看：数学的本质与宇宙万物的关联