除了 1 和 144，还有哪个斐波那契数是平方数? 第1页

确实没有其他的了

这个结论最早是1964年英国数学家J. H. E. Cohn证明的

证明过程没有用到任何高深的数学知识，只用到了初等数论里的二次剩余

背景概念

所谓斐波那契数列，就是满足：

（ ）

的二阶线性递推数列

关于斐波那契数列的通项公式的推导详见：

类似地，我们可以定义卢卡斯数列 ，它满足：

（ ）

我们可以得出，卢卡斯数列的通项公式为：

（ ）

斐波那契数列 和卢卡斯数列 的定义域都很容易由自然数集推广到整数集

令

我们有以下结论：

（1）

（2）

证明很简单，直接把二者的通项公式往里带即可

而令 ，可得

令 ，可得

即

从而

（3）

同样，直接代入通项公式即可证明

（4）

同样，直接代入通项公式即可证明

（5）

当且仅当

当且仅当

数学归纳法即可证明

（6）

当且仅当

当且仅当

数学归纳法即可证明

斐波那契数列和卢卡斯数列都是线性递推整数数列，所以一定是模周期数列

（7）

若 ，则

否则

这里只需要注意到

所以

而由于

所以当 为偶数，即 时

而当 为奇数时

（8）

若 是不能被3整除的偶数，则

（9）

（ 为偶数）

（10）

以上结论的证明基本上只用到了直接带通项公式、数学归纳法、辗转相除法、模周期数列，很容易验证，不多解释了

再补充点二次剩余的相关结论：

二次剩余

对于素数 ，整数 ， 不是 的约数

如果存在整数 ，使得

则称 是模 的二次剩余，否则称 是模 的二次非剩余

欧拉判别法

对于素数 ，整数 ， 不是 的约数

则 是模 的二次剩余的充要条件是

而 是模 的二次非剩余的充要条件是

推论1

是模 的二次剩余的充要条件是

推论2

对于素数 ，整数 ， 不是 的约数

1）若 均为模 的二次剩余，则 也是模 的二次剩余

2）若 均为模 的二次非剩余，则 也是模 的二次剩余

3）若 是模 的二次剩余， 是模 的二次非剩余，则 是模 的二次非剩余

以上内容的证明随便翻阅一本初等数论教材即可

由以上两个推论立即可以得出：

对一切素数 ， 是模 的二次剩余

是模 的二次剩余的充要条件是

下文中，

是不能被3整除的偶数

（一）若 ，则

1）首先，若 为正偶数

由

显然 ，

所以此时 不可能是完全平方数

2）若

显然 符合

否则，令

其中 ，而 为偶数，且 不是3的倍数

由于

且

此时 至少存在一个素因子 ，使得

否则的话可以使用反证法，假设 的所有素因子 都满足

则必有 ，矛盾

所以此时有

根据欧拉判别法的推论， 是模 的二次剩余当且仅当

这说明了此时 不可能是完全平方数

3）若

显然 符合

否则，令

其中 ，而 为偶数，且 不是3的倍数

由于

且

同样，此时 至少存在一个素因子 ，使得

所以此时有

根据欧拉判别法的推论， 是模 的二次剩余当且仅当

这同样说明了此时 不可能是完全平方数

综上，只有 时， 是完全平方数

（二）若 ，则

1）若 为奇数且 为偶数，则显然

若 ，则

若 ，则

综上，若 为奇数且 为偶数，则

也即

显然 不可能是完全平方数

2）若

显然 符合

否则，令

其中 ，而 为偶数，且 不是3的倍数

由于

也即

且

同样，此时 至少存在一个素因子 ，使得

所以此时有

同样， 是模 的二次剩余当且仅当

这同样说明了此时 不可能是完全平方数

3）若

显然 符合

否则，令

其中 ，而 为4的倍数，且 不是3的倍数

此时显然 不是3的倍数

由于

也即

且

此时 至少存在一个素因子 ，使得

所以此时有

同样， 是模 的二次剩余当且仅当

这同样说明了此时 不可能是完全平方数

4）若

显然 符合

而对于一切偶数 ，

也就是说，若 时 不是完全平方数

则 时， 亦非完全平方数

所以此时只有 符合

综上，只有 时， 是完全平方数

现在我们证明：

（三）若 ，则

1）若

显然 符合

否则，令

其中 ，而 为偶数，且 不是3的倍数

由于

且

此时 至少存在一个素因子 ，使得

所以此时有

同样，根据欧拉判别法的推论， 是模 的二次剩余当且仅当

这说明了此时 不可能是完全平方数

2）若

显然 符合

而对于一切奇数 ，

也就是说，若 时 不是完全平方数

则 时， 亦非完全平方数

所以此时只有 符合

3）若 为偶数

此时有

①若 为3的倍数

此时必有

根据之前的结论，

经检验， 符合

②若 不是3的倍数

此时必有

根据之前的结论，

经检验， 符合

所以，只有 时， 是完全平方数

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在我看来，特斯拉想石锤掉张女士太容易了好吗？

现在事情这么大了，都惊动到特粉的精神领袖马斯克了。

行车记录不是特斯拉后台都有吗？

不是只有特斯拉能读取（破解）吗？

直接倒出来事发前后10分钟的记录公布大众不就直接锤死了吗？

还轮的上张女士跳脚吗？

至于隐私啥的，涉及面这么广已经不存在隐私问题了，反正特斯拉也不尊重车主，就直接公布呗？

多少数据啊，拘留5天都整理不出来，都不如我们新招的实习生呢。

---

那么问题来了，为啥不锤呢，人道主义吗？

---

还有人在那说，车主不给车就鉴定不了。

行，我认为你说的是对的，

那特斯拉给一份精选的数据是咋回事？

不用怕网友看不懂，我看不懂，我后面有千千万万网友会翻译成我能看懂的Excel。

你倒是公布啊。

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