如何学好概率论？ 第1页

谢邀，自认为对这个问题有发言权。

第一是全书的所有定理的证明都要掌握，这和一般的数学类教材的方法是一样的；

第二是发现整个理论体系的内在逻辑。一个优秀的初中生应该可以在初一下学期用滚雪球的方法基本还原欧氏平面几何的体系，同理，一个优秀的数学/统计学/金融工程学生应该在不晚于大二下学期具备对概率论与数理统计教材的推导和还原能力。

举个例子：从柯尔莫哥洛夫的公理化定义第三条出发，到概率的连续性，然后添加期望的定义，证明切比雪夫不等式（这个不等式还有指数一般的情况），再证明随机变量方差为零则几乎处处为常数，然后再根据相关系数定义可以证明相关系数绝对值为1时两变量关系几乎处处为一条直线……这种一线串通的例子比比皆是；

第三，对大的框架要有把握。上述第二是由基础定义和公理出发把握概念的联系，本条则是偏向宏观的范畴。“大的框架”是指：能够不经过严格证明而明白知识全貌的概念集合，这点在全书中以正态分布为中心显得特别明显（正态分布很重要，但是过细地去研究正态分布意义不大，关键是全局去看其意义）。

首先是退化地看，二项分布可以用泊松分布来近似（泊松定理），而根据中心极限定理，泊松分布的极限分布是正态分布。正态分布是所有分布趋于极限大样本的分布，这就由离散过渡到连续的场合。在连续场合，我们把正态分布标准化就可以导出三大抽样分布（卡方分布，F分布，t分布（又称戈赛特分布）），然后证明这几个分布的方差与均值的系列定理，然后就可以导出正态总体的参数区间估计和假设检验，方差分析和一元线性回归也可以引出。上面说的只是粗略的，很多细节可以补充。像这样，抓住了正态分布，就可以看到一大片森林。

第四，既要强调逻辑推导，也不要过分陷入细节。例如在特征函数的部分，特征函数是随机变量傅里叶变换的期望，而对于傅里叶变换这种还没接触到的细节可以先作为一个基础概念接受，不必过分纠结细节，类似地还有涉及到测度，波莱尔域这些；

第五，适当拓展到随机过程和多元统计。这里强调适当是因为这些都是后续课程的内容。准则是，随机过程掌握泊松分布，多元统计掌握多元正态分布的假设检验与参数估计，以及形式比较简单的多元线性回归作为对一元线性回归的拓展即可。

第六，学以致用，学学软件，写写程序。对于蒙特卡罗模拟程序，假设检验的命令，以及例如最大似然估计的EM算法都可以尝试在Matlab平台上编写程序运行。在数学建模竞赛和平时的数据分析项目或者课程作业需要处理数据时，可以试着运用统计学的方法。

第七，学有余力的话看看高等的内容，一个是胡迪鹤的《高等概率论》，还有一个是钟开莱的《概率论基础》。胡迪鹤的比较全面，适合研究生看，初学者可以看看钟开莱的就行。数理统计部分要拓展的话：对于非参数内容只要把书本上有的非参数内容搞懂就行，其他非参数深入学习交给后续课程；而参数统计是基础，一定要搞好，可以参考专门的参数统计教材加以拓展。

参考书目：

1.茆诗松《概率论与数理统计》（第二版，主要看这本就行）

2.何书元《概率论》《随机过程》（可以作为对1的补充，但不建议作为主要学习教材）

3.高惠璇《应用多元统计分析》（对多元统计内容作拓展，学概率论与数理统计期间看到第四章前面即可）

4.陈家鼎《数理统计学讲义》（证明了很多别的书上没有的命题，第四章以后的内容可以作为拓展知识）

5.某个外国人写的，机械工业出版社《统计模型》（作为知识面的拓展，当课外书就行）

初等概率论可以看看李贤平的《概率论基础》，数学系应该多是用的这一本吧。稍微介绍了一点测度的知识，但略过也不影响整体的阅读。下图是陈大岳老师对该书的评价，我感觉说的很好：

有时间的话还可以再看看Ross的A First Course in Probability，我觉的这本书就有一点好，有许多与其它学科相关联的例子，看着挺有意思，这正是国内教科书所缺乏的地方。

基于测度的概率论，我推荐Billingsley的Probability and Measure（虽然我还没看完233）。我最先看的是施利亚耶夫的那本《概率》，然而不知是因为看的翻译版的问题还是本学渣水平太弱，总觉得看得很费劲，后来转投Billingsley的书，感觉要比战斗民族的书友好得多。。。话说这本书内容虽然很多但还挺有意思的，第一章竟然是从normal number开始讲起~~