准高一学生想自学数学有什么建议吗？ 第1页

0：先把学校课业学好。不要在课业搞不定的情况下学数学。起码保证进重点高中，不要拿自己前途开玩笑。

1：首先，你自己认为自己学完了高中数学。那么你可以通过一下方式检查你自学的基础：

入门级：人教版高中必修1-5，和主要选修教材的知识点和课后习题。

提高级：王后雄 教材完全解读 对应内容的题目，大部分要有思路。（注：不代表本人推荐王后雄，请不要通过此书自学）

完全级：自行研究高考历年真题。如果能做个130以上再考虑别的。（考虑到你是自学，此标准可放宽至120）

1.5 我个人建议加强英语训练以阅读英文教材。好处很大，起码你要知道中国很多高校如南大数学系有些课都是英文授课的。因此你需要完全掌握初高中语法和词汇，同时适应英文阅读。可以通过阅读接下来的英文教材培养相关能力或确认自己的水平。同时建议获取一种方便搜索教材的搜索引擎。

2.在以上搞定了的基础上，你可以开始准备进入大学级的数学了。大学数学学习过程并不是完全递进的。有多个分支你可以自由选择（上大学前自学时是这样）当然，有些知识是共同的基础。我推荐的教材都是英文原版的，但其中有一些存在中文版本。

2a. 分析

比较温和的做法是从微积分而不是数学分析入手。鉴于你提到对普林斯顿感兴趣，

2a.1 我推荐普林斯顿微积分读本 京东就有卖（https://item.m.jd.com/product/12056402.html）。 当然我更推荐你找在线版本省钱。你可以从对三角函数，对数函数，指数函数等基础的复习开始，一路学习数学的推导过程（请把书中证明自己推理一遍，学习其思想！）并学到很多很cool的知识。这些够你学到多元微积分。如果有不理解的概念，可以b站搜索关键词3blue1brown去观看数学科普视频，并积极寻求水平较高老师的帮助。你可以去附近大学试试看能不能遇到数学教授（要学会主动出击寻找学习资源！）

2a.2 现在你有几个选择：

2a.2.1 你可以去学习简单的常微分方程，然后学习应用级复分析，偏微分方程。这些内容我推荐麻省理工大学在线公开课程系统MITOCW的课程设置，你可以从这个链接获取（进入https://ocw.mit.edu/index.html，然后搜索multivariable calculus课程编号是18.02, 03,…) 这些内容的应用面非常广，也很有趣。不过课程是英语的。中文方面我不太清楚，有知道的知友希望评论区补充。

2a.2.2 你也可以走入更深刻而抽象的世界（我想你一定会喜欢。热烈欢迎！！）去寻找你在2a.1中学到的定理是怎么被严格证明的。从形式地构造实数系统开始，你会发现一个全新的世界。我推荐你阅读understanding mathematical analysis by Stephen Abbott 来入门数学分析。当然了，如果你基础比较强，也可以跳过这本书，直接考虑陈天权的数学分析教材，然后看principal of mathematics analysis by Rudin 来快速抵达深刻的领域。 这个部分可以和2a.2.1的相关内容齐头并进。相信你可以从这些书中学习到数学家是如何构建基础分析理论的。当你完成这些书的学习之后，我就不确定你是否需要继续学习以下领域：

2a.3 测度论（实分析）也许可以看folland的对应教材。但是答主不怎么会这个，所以不好说。也可以看real and complex analysis by rudin. 这些学完之后可以学习一些fourier analysifunctional analysis，但答主也了解很少。因为本答主暂时高三，这些没学过。

当然，分析并不是数学的全部。实际上，在2a.2.1的多元微积分里，你会由向量走向线性代数的大门————

2.b.1 线性代数

当你先完成了2.a.1和2.a.2.1的一部分时，你或许会想要学习类似线性代数简明教程（蓝以中）的书。本人不推荐，因为我个人不喜欢此书把行列式放在最开头的做法。如果你没有学习2.a.1，反而从2.c开始的话，我比较推荐的入门书是线性代数应该这样学(linear algebra done Right)。非常好的教材，强烈推荐。你会看到线性方程组如何被拿捏，以及线性代数更加深刻的本质。（矩阵这个高级词汇对你来说将会不再陌生）

2.b.2

可以学习一些高级的线性代数，比如线性空间张量积等。不知道用什么教材好，待补充。

2.c 近世代数

我最喜欢的数学内容。简洁，优美，结构明确。你可以学到从事物本质出发的数学抽象结构。

2.c.1 入门我推荐A first course in abstract algebra by John Fraleigh. 接下来可以参考algebra by artin 把module的部分补上。

2.c.2 然后就可以学习交换代数，伽罗瓦理论等理论。

2.c.3 结合2.a和2.b的基础，你甚至可以学习同调代数，代数拓扑等内容。在此之前，你需要点集拓扑的知识。推荐topology without tears。

2.d也许你会对数论感兴趣？

2.d.1 初等数论，推荐潘承彪和潘承洞的初等数论一书。（待补充更好的入门书）但是，在这之前。你不妨看看单墫老师的趣味数论一书来找到一些乐趣。

2.d.2a 代数数论（需要2.c.1, 2.c.2 和交换代数）暂无推荐

2.d.2b 解析数论 （需要2.a） 推荐唐太炎翻译的A introduction to analytical numbertheory。

其他：组合数学，图论，……

有个答主提到了一系列竞赛书籍。他的推荐是非常合适的。如果你有条件接触不错的竞赛教练，并达到CMO金牌的水准 那也是一条很有趣的路径。不等式，数论，和组合也非常有用