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用坐标变换定义的张量和微分几何中的张量或张量场是什么关系? 第1页

  

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第二次学GR,来回顾一下自己提的问题。

从整体微分几何的角度,张量场就是张量丛(作为切丛和余切丛的张量积)的截面。有时候我们会问,一个具体的的映射是否是(诱导自)一个张量场?比如为什么仿射联络 不是一个(1,2)型张量场,但是它的挠率张量 是一个(1,2)型张量场?

一个物理人会说仿射联络无非就是 个函数 ,它们按坐标变换的规则会出二阶导数,因而不符合张量的定义(按坐标变换定义的“张量”),同理挠率 符合(1,2)型张量的坐标变换,所以是张量。

事实上很难不引入局部坐标来讨论张量场(因为任何矢量丛都是纤维粘起来的,每个纤维上引入坐标卡,并检查相容性条件,就等价于检查矢量场符合对应的坐标变换规则),但是我们可以把这些封装到如下好用的定理:

映射 诱导了一个 型张量场当且仅当 是 多重线性的。

这种局部坐标变换的规则反映到整体上就是张量场作为 代数同态的性质,正如 @Triviality 的答案所言。比如仿射联络在定义上要求 ,多出来的 表明它对第二个位置不具有 线性(但仍然是 线性的,这表明张量场必须要在一个开集上考虑,在单点上的张量积空间上讨论多重线性是无意义的),因此不是一个张量场。




  

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