如何向六年级的孩子解释-1×(-1)＝1？第1页

ling-jian-94 网友的相关建议:

不要拘泥于形象化，如果想要尽早培养对数学的感觉的话，对乘法的理解其实是个整体性的问题。如果你觉得(-1) * (-1)可以用形象化的方式解释，那分数乘法要怎么解释呢？无理数的乘法要怎么解释呢？虚数乘法又怎么办，为什么i * i = -1？

如果是我的话，我就会这么解释：

首先，我们引入乘法，最开始是为了解决“3个4是多少”这样的问题，我们说“a个b是多少”，就是在问是多少。

如果a是个自然数的时候，a个b是多少这个问题比较好解决，实际上就是a个b相加，。但是这样相加毕竟不是办法，而且如果a不是自然数就比较麻烦，所以我们得找一些更本质的规律出来。

这里a和b是用字母代替具体的数，使用什么字母并不重要，比如相应的，“a个c是多少”，也就是。

既然我们考虑的是“a个c是多少”，那我们可以想到，“a个c加上b个c”，应该就是“a+b个c”，这两者的结果应该是一样的，也就是我们熟悉的乘法分配律：

再考虑，“b个（a个c）是多少？”我们可以先算a个c是多少，再用乘法算总和的b个是多少；也可以先考虑总个数，也就是“（b个a）个c是多少”，这两者也应该是一样的，这就是我们熟悉的乘法结合律：

这两条规律只和我们说的“a个b”的概念有关，跟a是不是自然数似乎没有关系，所以我们会希望不管a和b是什么样的数，这两条定律都要对乘法成立

最后，“1个b”的结果应该就是b，“0个b”的结果应该是0，也就是：

我们现在找到了乘法的四条规律，我们反过来看看最开始提出的a是自然数时候的乘法的结果，它实际上是可以推导出来的，我们知道自然数a = a个1相加，也就是

于是

也就等于

现在如果a不是自然数，而是个正的分数呢？我们设，p和q都是自然数，则有

所以

既然是q个，那也就可以用乘法写成

乘法的逆运算是除法，也就有

可以注意到这个公式也可以用我们前面提到的结合律推导出来，可以自己练习一下。

那么如果a是个负数，要怎么办呢？

我们注意到，所以有

和为0的两个数互为相反数，所以有

所以，如果我们希望乘法的分配律对负数也成立，则一个数乘以一个负数就等于乘以它的相反数，再取负值。

根据前面的规律，我们知道有

所以就有

除了以上规律以外，我们还知道乘法有交换律，即。其实这条规律是最难以解释的，对于六年级孩子来说，只能解释为它恰好对于我们目前学过的数都是成立的。如果想要更深入一些的话，大致可以从这样的角度：

a是自然数的时候，a个1加起来正好就是a，所以有

a和b都是自然数的时候，可以将结果分成a组，每组是b个1相加，将这些1重新分成b组、每组a个，可以知道，跟书本上数长方形的格子数的意思是一样的。

a和b中有负数和分数的时候，可以通过前面的公式转换成自然数乘法，从而分别证明出几种情况下都符合交换律。

交换律的成立并不是那么自然的，随着以后数学的学习，也会接触到不符合交换律的乘法。

chang-shou-92 网友的相关建议:

定理：如果想把乘法从非负整数扩张到全体整数，而且要求几个运算律（任何数乘1为自己，乘法与加法分配律，加法与乘法的交换律和结合律）继续成立，则别无选择只能定义-1×(-1)＝1。此外，前述要求也确定了所有负整数之间的乘法之“负负得正”法则。

证明：易证。留作习题。

mai-wen-xue-67 网友的相关建议:

俺孩子今年五年级，他喜欢在 SCRATCH 上编游戏。

俺数学很烂也很差，所以只能用看图说话的方式来帮助他理解。

俺是这样解释的：

俺画了一个直角坐标。

笛卡爾坐標系（Cartesian Coordinate System，也稱直角坐標系）在數學中是一種正交坐標系，由法國數學家勒內·笛卡尔（René Descartes）引入而有此名。二維的直角坐標系是由兩條相互垂直、相交於原點的數轴構成的。在平面內，任何一點的坐標是根據數轴上對應點的座標設定。在平面內，任何一點與坐標的對應關係，類似於數軸上點與坐標的對應關係。

俺让他找出（1，0），（1, 1），（-1, 0）和（-1, -1）。

然后，再让他在 SCRATCH 上面描出这个坐标系以及这四个点，再点亮这四个点。

最后，告诉他乘以（-1）只是改变方向而不改变大小。再让他在 SCRATCH 上面描出点亮

（+1, -1），（-1, +1），（0, +1），（0, -1）。

俺还告诉他， “Two negatives make a positive”，让他认为是他自己发现的真理。

当然，也编了几道两元一次方程和开括号的练习给他测试，随后，加上一点答疑的过程，看看他的思维有没有错乱的苗头。

事情结束以后，给他奖励一根雪条（popsicle），称赞他比爸爸聪明，将来啃腚大有作为。

基本上和驯兽员训练海豚差不多。

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** 关于这个话痨的答主

lu-luce 网友的相关建议:

我说一个方法。

拿一个表盘。啥叫负一，就是反方向呗。

反方向的反方向就是正方向。

几何是最直观的最科学的感受数学概念的方法。

微积分直接上加速度。

线性代数直接上三维空间图形变换。

概率论也能上三维曲面坐标图。

inversioner 网友的相关建议:

画个轴分成两半，乘以-1表示右边的轴转半圈到左边，再转一下就回来了。

这还有助于以后理解虚数单位。

one-seventh 网友的相关建议:

题目没解释是什么意思啊，那我就当作幺环中乘法幺元的加法逆元处理可以吧？

设为一个集合，和为定义在其上的二元运算（分别称为加法和乘法），称代数结构为幺环，如果它满足：

是一个阿贝尔群，即：

是封闭的
（加法交换律）
（加法结合律）
（称满足这一性质的为加法幺元）
（称满足这一性质的为的加法逆元）

是一个幺半群，即：

是封闭的
（乘法结合律）
（称满足这一性质的为乘法幺元）

乘法对加法的分配律，即：

定理1：中仅存在一个加法幺元

证明：设和都是加法幺元，则。

之后把这唯一的一个加法幺元记为。同理，中仅存在一个乘法幺元，记为。

定理2：

证明：设为的一个加法逆元，则：

这称为加法消去律。

定理3：对每个，仅存在一个加法逆元

证明：设和都是的加法逆元，则，根据消去律，

之后把的这唯一的一个加法逆元记为。

定理4：

证明：，根据消去律，

所以与互为逆元。

定理5：

证明：，根据消去律，；同理。

定理6：

证明：，所以与互为逆元，所以

同理可证，

定理7：

证明：

回到原题，则。

allen-63-88 网友的相关建议:

很简答啊，和初一的孩子学负数时候一样解释就行了。

你还记得上初一时候数学老师是如何解释“负负得正”的吗？

如果不喜欢，再给你提供其他5种小学生可以理解的方法。

1.最简单的解释：“负负得正”是一种规定。

别看不起这个解释，数学本质上就是建立在一大堆“规定”上的。

比如，为什么0代表正负数的原点，为什么用10进制，数学本身就是一种工具，是人提出的规定合集。

课程不讲为什么，只提到“负负得正”是一种规定，让学生记住并能运用，很多人小时候就是这么被教的。等到他们的逻辑能力和知识储备足够理解时候，才会详细告诉为什么。

这类的规定或者公理其实在小学还有很多：

1.两数相加交换加数的位置，和不变。

2.两点之间,线段最短。

3.零不能做除数。

其中的一些在之后的学习中可能会学会证明，但别小看这些公理，看似简单的内容，如果想要证明未必那么简单。

2.逻辑的解释“双重否定等于肯定”

这个相对从语言逻辑上容易让孩子理解。

“他没有理由不接听电话”= “他会接电话”。否定两次就变成了肯定。

数学上也可以想象为类似的情况，负代表否定的话，双重否定就是肯定即正数。

3.从乘法的意义来解释

乘法的意义可以理解为是一个事情发生了多少次，2个数相乘，一个数有单位表示个数，一个数没单位表示次数。

一个数正负的意义是得到失去，次数的正负意义是发生少发生还是多发生，而”失去“少发生等于得到，所以负负得正。

举例说明：

一个小朋友每次考满分被奖励2个苹果，连续考10次满分，记为2X10=20，得到20个苹果。

假如他其中有3次没有拿到满分，每次扣掉2个苹果，记为-2X3=-6，得到20-6=14个苹果。

假如其中有一次是看错了成绩，发现后纠正了，减少一次扣掉苹果的次数，记为-2X（-1），实际上和刚才对比能多拿到2个苹果，14+2=16个苹果。

4.M克莱因的解释法

M克莱因是美国数学史家、数学教育家与应用数学家，数学哲学家，应用物理学家。他曾经提过一个比较简单理解负数乘法的解释。

假如一人每天欠债5元，记作-5，那么“每天欠债5元、欠债3天”三天后的财产状况可以用数学来表达：3×（-5）=-15。

那么假如有这么一个人，欠债三天后财产情况恰好是0元。请问他三天前财产是多少元呢？

显而易见，是15元。

如果我们用-3表示3天前，用-5表示每天欠债，那么3天前他的经济情况可表示为（-3）×（-5）=15。

5.用小学之学会的简单数学公式理解的方法

（-1）×（-1）

=（-1）×（-1）+0×(-1)

=（-1）×（-1）+[(-1)+1] ×1

=（-1）×（-1）+(-1) ×1+1×1

=(-1) ×(-1+1)+1

6.实际上，证明这件事很难。

在数学概念中，以“实际事物的原型”替代“数学的证明”的做法其实是不妥的。

数学中的证明不是个例的验证，数学不是物理、化学、生物那样的实验科学，它的命题具有一般性，不能依靠检验个别案例完成对一般结论的证明。

上面这句话的通俗解释就是”哪怕你举了一万个例子，只要不能证明所有情况下都成立，就不叫数学证明。“

”负负得正”可以说是数学中的一种规定。

在数学工具中人类发明负数的概念时，我们首先要定义什么是负数。

a+b=0就把b定义成a的相反数（负数），记为–a。

由于ab+(-ab)=(a+(-a))b=0b=0，因此。-ab是ab的相反数。

由于-ab+(-a)(-b)=(-a)(b+(-b))=(-a)0=0，因此(-a)(-b)是-ab的相反数。

从而(-a)(-b)=ab

当我们把非负整数所满足的运算律用于负数时，两个负数相乘的结果只能是正数。

对于六年级的孩子，个人认为其实知道这种数学概念并记住就行了，因为未来他会接触越来越多很难用现实例子来形象表示的数学概念，非要举例之后可能也会遇到理解的困难。

plel 网友的相关建议:

这是我看到的最准确的总结。

总的来说，就是中国的高考相对公平，所以性价比极高，所以其他活动都可以适当让步。

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很简答啊，和初一的孩子学负数时候一样解释就行了。

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